Материал: Лекция №5

Лекция 5

Элементы геометрических моделей (многогранники, кривые поверхности). Развёртки

Поверхности

Поверхность представляет собой множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эту линию называют образующей поверхности. Она может быть прямой или кривой. Закон перемещения образующей задается линиями – направляющими.

Многогранники

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной. Элементами многогранных поверхностей являются грани, ребра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 - Элементы многогранных поверхностей

Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум её граням, то её называют замкнутой (б, г), в противном случае - незамкнутой (а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все её ребра пересекаются в одной точке - вершине (а). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. Многогранная поверхность называется призматической, если все её ребра параллельны между собой (г).

Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником (рисунок 4.2). Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы.

Рисунок 4.2 - Многогранник

Среди других видов многогранников следует выделить - призматоиды и правильные многогранники (тела Платона). Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания - многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции.

Существует пять правильных многогранников:

-тетраэдр (четырехгранник) - ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками;

-гексаэдр (четырехгранник, или куб) - ограничен шестью равными квадратами;

-октаэдр (восьмигранник) - ограничен восемью равносторонними и равными треугольниками;

-додекаэдр (двенадцатигранник) - ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками;

-икосаэдр (двадцатигранник) - ограничен двадцатью равносторонними и равными треугольниками.

Вокруг всех правильных многогранников можно описать сферу. Совокупность всех ребер и вершин многогранника называется его сеткой

Кривые поверхности: общие понятия

Кривые поверхности (рисунок 4.3) широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований.

Рисунок 4.3 - Пример сложной поверхности

Существуют три способа задания кривых поверхностей:

-аналитический - при помощи уравнений;

-при помощи каркаса;

-кинематический - перемещением линий в пространстве.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению или системе алгебраических уравнений.

При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ применяется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето- и судостроении, в топографии и т.п.

При кинематическом способе образования и задания кривых поверхностей каждая кривая поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений образующей линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Образующая линия при своем движении может оставаться неизменной, а может и менять свою форму. Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.

Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или её основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Определитель поверхности состоит из двух частей:

-геометрической части - совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность;

-алгоритмической части - алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.

Рассмотрим примеры выявления определителя для некоторых простейших поверхностей (рисунок 4.4):

Рисунок 4.4 - Определители цилиндра, конуса и сферы

1.Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l i вокруг оси i. Геометрическая часть определителя поверхности состоит из образующей l и оси i. Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей линии l вокруг оси i.

2.Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l, пересекающей ось вращения i под некоторым углом. Алгоритмическая часть определителя состоит из словесного указания о том, что поверхность образуется вращением образующей l вокруг оси i.

3.Сферой называется поверхность, образованная множеством точек пространства, находящихся на расстоянии |r| от данной точки O. Геометрическая часть определителя сферы состоит из точки O (центра сферы) и точки М, принадлежащей её поверхности. Алгоритм построения любой точки сферы заключается в проведении через точку О произвольной прямой и откладывания на ней от точки О отрезка | OM' |=| ОМ |=| r |.

Кривые поверхности разделяются на линейчатые и нелинейчатые, закономерные и незакономерные. Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии, в противном случае она называется нелинейчатой. Если поверхность может быть задана каким-либо уравнением, она называется закономерной, в противном случае - незакономерной, или графической (задается только чертежом). Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическое уравнение n-й степени (в декартовых координатах) задает алгебраическую поверхность n-го порядка (трансцендентные поверхности порядка не имеют). Алгебраическая поверхность n-го порядка пересекается плоскостью по кривой n-го порядка, а с прямой линией - в n точках. Плоскость, имеющую уравнение первой степени (с произвольной плоскостью пересекается по прямой линии, а с прямой - в одной точке), можно рассматривать как поверхность первого порядка.

Примерами кривых поверхностей второго порядка могут служить поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг одной из своих осей. Поверхности второго порядка пересекаются с произвольной плоскостью по кривым второго порядка, а с прямой - в двух точках. Примером поверхности четвертого порядка может служить тор.

Линейчатые поверхности

Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы:

-линейчатые поверхности: развертывающиеся, неразвертывающиеся, винтовые.

-поверхности вращения.

Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения - линейчатая поверхность, а сфера - нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися.

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися. Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата.

Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, цилиндрические и конические (рисунок 4.5).

Рисунок 4.5 - Линейчатые поверхности с ребром возврата

Торсы

Возьмем некоторую пространственную ломаную линию 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... и продолжим её стороны так, как показано на рисунке 4.6. В результате получим двухполую многогранную развертываемую поверхность. При неограниченном увеличении числа сторон ломаной линии с одновременным стремлением длины каждой из них к нулю и переходе к пределу получим:

-пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... преобразуется в пространственную кривую линию m;

-ребра многогранной поверхности преобразуются в касательные к пространственной кривой m;

-многогранная поверхность преобразуется в линейчатую двухполую развертывающуюся кривую поверхность, которая называется торсом.

Рисунок 4.6 - Формирование торса

Множество всех касательных прямых к пространственной кривой представляет собой непрерывный каркас поверхности торса. Через каждую точку поверхности проходит одна касательная к кривой m. Таким образом, торс представляет собой поверхность, которая образуется непрерывным движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой линии. Направляющая пространственная кривая m служит границей между двумя полостями поверхности торса и называется ребром возврата. Если взять на кривой m какую-либо точку В и провести через неё плоскость , пересекающую обе полости поверхности, то полученная в пересечении кривая АВС будет иметь так называемую точку возврата B. Следовательно, ребро возврата является множеством точек возврата кривых линий, полученных при пересечении данной поверхности различными плоскостями. Этим и объясняется её название. Если ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия, то такая поверхность называется развертывающимся геликоидом.

Свойством развёртываемости торс обладает потому, что он является пределом некоторой развертывающейся многогранной поверхности. Геометрическая часть определителя торса состоит из ребра возврата. Алгоритмическая часть определителя торса состоит из указания о том, что образующая прямая при своём движении остается касательной к ребру возврата. Если ребро возврата выродится в собственную точку пространства, то образующие торса, проходя через неё, образуют коническую поверхность произвольного вида. Если эта точка (вырожденное ребро возврата) будет несобственной точкой пространства, то образующие торса, проходя через неё, окажутся параллельными между собой и образуют цилиндрическую поверхность общего вида. Таким образом, цилиндрическая и коническая поверхности обладают свойством развёртываемости, так как являются частными случаями поверхности торса. Однако, чтобы задать коническую или цилиндрическую поверхности, недостаточно иметь только ребро возврата (собственную или несобственную точку) - положение образующей прямой не определяется одной точкой. Необходимо задать ещё направляющую линию.