Материал: Лекция №5

Поверхность однополостного гиперболоида имеет две образующие линии l (ВС) и l' (В'С'), наклоненные в разные стороны и пересекающиеся в точке (А), принадлежащей наименьшей параллели. Отрезок ОА является кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые. Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола.

Все рассмотренные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей.

Сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг её оси.

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой.

Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг её действительной оси.

При вращении асимптот гиперболы образуется конус вращения, который называется асимптотическим по отношению к поверхности гиперболоида.

Все рассмотренные поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в её плоскости. Существует теорема: "При вращении плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка вокруг произвольной оси образуется алгебраическая поверхность вращения, имеющая в общем случае порядок 2n". Из этой теоремы следует, что при вращении кривой второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в её плоскости, образуется поверхность четвертого порядка. Наиболее распространенной поверхностью четвертого порядка является тор (рисунок 4.22).

Рисунок 4.22 - Тор

Тором называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, принадлежащей плоскости окружности, но не проходящей через её центр. При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем - открытым или кольцом.

Каналовые и циклические поверхности

Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве (рисунок 4.23). Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому.

Рисунок 4.23 - Каналовые поверхности

В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:

-параллельно какой-либо плоскости - каналовые поверхности с плоскостью параллелизма;

-перпендикулярно к направляющей линии - прямые каналовые поверхности.

Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:

-различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;

-одинаковую форму, но различные площади сечения;

-различную форму и различные площади поперечных сечений.

Поверхность Эшера - это каналовая поверхность, направляющей которой является пространственный трехлистник (рисунок 4.24). Последний можно представить как нить, намотанную по поверхности тора.

Рисунок 4.24 - Поверхность Эшера

Циклическую поверхность (рисунок 4.25) можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется.

Рисунок 4.25 - Циклическая поверхность

Трубчатая поверхность (рисунок 4.26) относится к группе нелинейчатых поверхностей с образующей постоянного вида и является частным случаем циклической и каналовой поверхностей. Она обладает свойствами, присущими этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой - закон движения этой образующей.

Рисунок 4.26 - Трубчатая поверхность

Кинематический метод построения поверхностей, в частности, каналовых поверхностей представлен на рисунке 4.27.

Рисунок 4.27 - Кинематический метод образования поверхности

Построение развёрток: термины и определения

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. При этом исходят из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности с ребром возврата: торсы, конические и цилиндрические. Линейчатые косые и нелинейчатые поверхности этим свойством не обладают. Существуют различные способы построения их условных разверток при помощи аппроксимации.

Плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. Между поверхностью и её разверткой существует взаимно-однозначное точечное соответствие (точке А на поверхности соответствует точка А' на развёртке, и наоборот), обладающее следующими свойствами:

-длина участка АВ линии l на поверхности равна длине участка А'В' соответствующей ей линии l' на развертке;

-угол между кривыми m и n на поверхности равен углу ' между соответствующими им кривыми m' и n' на развертке (углом между кривыми называется угол между касательными к ним в точке пересечения);

-площадь отсека F поверхности равна площади соответствующего ему отсека F' развертки.

В дифференциальной геометрии доказывается, что второе и третье свойства являются следствием первого. Первое свойство вытекает из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки.

Из рассмотренных свойств следует (рисунок 4.28):

-прямой линии (a) на поверхности соответствует прямая (а') на развертке;

-прямым, параллельным (а b) на поверхности, соответствуют прямые, параллельные (a' b') на развертке.

Однако оба указанных свойства обратной силы не имеют, т.е. не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности. Примерами этого могут служить цилиндрическая винтовая линия, параллели поверхности вращения. Если кривой линии, принадлежащей поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта кривая линия является геодезической для данной поверхности.

Рисунок 4.28 - Поверхность и ее развертка

Развёртки многогранников

Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников - граней, а иногда и некоторых других элементов. Ребра многогранника условно разделяются на боковые и стороны основания.

Развертка пирамиды (рисунок 4.29).

Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.

Рисунок 4.29 - Пирамида и ее развертка

Построение развёрток кривых развёртывающихся поверхностей

Построение точных разверток кривых развертывающихся поверхностей традиционными методами сложно и, как правило, не вызывается практической необходимостью. Поэтому обычно строят приближенные развертки поверхностей. Основным способом построения приближенных разверток развертывающихся поверхностей (кроме цилиндрических) является способ триангуляции поверхности. Способ триангуляции состоит в том, что кривая поверхность заменяется многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней.

Развертка прямого кругового конуса, образующая которого равна |l| и радиус основания |r|, имеет форму кругового сектора с радиусом равным |l| и центральным углом = 360^o|r|/|l| (рисунок 4.30).

Рисунок 4.30 - Конус и его развертка

При построении разверток цилиндрических поверхностей способ триангуляции, как правило, не применяется. Цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) вписанной в неё призматической поверхностью, которая определяется ломаной, вписанной в направляющую кривую цилиндра, и направлением образуюших. Развёртка этой п-угольной призмы и принимается за развертку цилиндра. Ломаная линия, получающаяся на развертке призмы, заменяется плавной кривой. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, соответственно равными 2пr и h, где r - радиус окружности основания цилиндра, а h - его высота (рисунок 4.31).

Рисунок 4.31 - Цилиндр и его развертка