Материал: Лекция №5

Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной

своему исходному положению (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 - Формирование цилиндрической поверхности

Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Неподвижная кривая m, по которой скользит образующая l, называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения - его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной её образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают (рисунок 4.8):

-круговые - нормальное сечение окружность;

-эллиптические - нормальное сечение эллипс;

-параболические - нормальное сечение парабола;

-гиперболические - нормальное сечение гипербола;

-общего вида - нормальное сечение кривая случайного вида.

Рисунок 4.8 - Разновидности цилиндра

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение (окружность), цилиндр называют прямым - рисунок 4.8 (а). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным - рисунок 4.8 (б, г, д). Наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами (см. рисунок 4.8 а). Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае - эллипсы (см. рисунок 4.8 б). Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится окружность.

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку (рисунок 4.9).

Рисунок 4.9 - Формирование конической поверхности

Неподвижная кривая m, по которой скользит образующая l, называется направляющей (см. рисунок 4.5). Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S, делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется "особой точкой поверхности"). Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все её образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной её оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения её плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии. Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают (рисунок 4.10):

-круговые - нормальное сечение окружность;

-эллиптические - нормальное сечение эллипс и другие.

Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение - наклонным. Прямой круговой конус изображен на рисунке 4.10а, наклонный круговой конус - на рисунке 4.10б. Основанием такого конуса может быть только эллипс, ось его не проходит через центр основания. Прямой эллиптический конус показан на рисунке 4.10в. Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Если принять одну из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием (рисунок 4.10г). Ось наклонного конуса не проходит через центр основания.

Рисунок 4.10 - Разновидности конуса

Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).

Неразвёртывающиеся (косые) линейчатые поверхности

Неразвёртывающиеся линейчатые поверхности в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон её перемещения (рисунок 4.11). Множество возможных положений прямой, которая в каждый момент времени пересекает три скрещивающиеся прямые образует однополостный гиперболоид.

Рисунок 4.11 - Однополостный гиперболоид

Направляющие линии могут быть прямыми и кривыми. В общем случае линейчатая поверхность может быть построена из множества образующих прямых, пересекающих три заданные пространственные кривые (рисунок 4.12).

Рисунок 4.12 - Формирование косой поверхности

Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана). В первом случае поверхность однозначно задается двумя направляющими линиями и направляющей плоскостью, которая заменяет третью направляющую линию. Образующая прямая скользит по двум направляющим и сохраняет постоянный угол с некоторой плоскостью , которая называется направляющей. В частном случае, если угол равен нулю, образующая прямая будет параллельна направляющей плоскости, которая в этом случае называется плоскостью параллелизма.

Поверхности с направляющей плоскостью ( 0) называются косыми цилиндроидами, если обе направляющие являются кривыми линиями; косыми коноидами - если одна из направляющих - прямая линия; дважды косой плоскостью, если направляющие - скрещивающиеся прямые.

На рисунке 4.13 показан дважды косой цилиндроид, как линейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две - пространственные кривые и одна прямая.

Рисунок 4.13 - Дважды косой цилиндроид

На рисунке 4.14 показан дважды косой коноид, образованный перемещением образующей прямой по трем направляющим, из которых две - прямые. Показано построение одной образующей, как результата пересечения вспомогательной плоскости, проходящей через одну из прямолинейных направляющих, с двумя другими направляющими.

Рисунок 4.14 - Дважды косой коноид

Поверхности с плоскостью параллелизма в аналогичных случаях соответственно называются прямыми цилиндроидами, прямыми коноидами и косой плоскостью.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

Прямой цилиндроид. Прямым цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.

Через каждую точку поверхности проходит одна образующая. Геометрическая часть определителя цилиндроида состоит из двух направляющих кривых линий (m и n) и плоскости параллелизма ( ). Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие кривые и параллельная плоскости параллелизма.

Прямой коноид. Прямым коноидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум направляющим, одна из которых - кривая, а вторая - прямая, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма. Коноид, направляющими которого являются кривая и прямая, а плоскостью параллелизма - плоскость, изображен на рисунке 4.15.

Рисунок 4.15 - Прямой коноид

Геометрическая часть определителя коноида состоит из двух направляющих линий (прямой и кривой) и плоскости параллелизма. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие линии и параллельная плоскости параллелизма.

Косая плоскость. Косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум скрещивающимся прямым и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.

Косая плоскость имеет два семейства прямолинейных образующих и две плоскости параллелизма. Образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые, каждая образующая одного семейства пересекает все образующие второго. Поэтому через каждую точку поверхности проходят две прямолинейные образующие разных семейств (рисунок 4.16).

Рисунок 4.16 - Косая плоскость

Косую плоскость называют также гиперболическим параболоидом, так как при пересечении её соответствующими плоскостями в сечении можно получить параболы и гиперболы (рисунок 4.17а).

а б

Рисунок 4.17 - Гиперболический параболоид и поверхность Каталана

Геометрическая часть определителя косой плоскости состоит из направляющих прямых и плоскости параллелизма. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие прямые и параллельная плоскости параллелизма.

Косая плоскость может быть получена как поверхность Каталана путем плоскопараллельного перемещения одной из парабол, как образующей, по второй параболе, как направляющей. Результат этого кинематического варианта формирования косой плоскости показан на рисунке 4.17б. На рисунке 4.17б также показан пример гиперболического сечения рассматриваемой поверхности и его вырожденный случай - две прямые, проходящие через "седловую" точку.

Винтовые поверхности

Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью - геликоидом (винтовое движение характеризуется вращением вокруг некоторой оси i и поступательным перемещением, параллельным этой оси).

Прямой геликоид. Если в качестве кривой направляющей коноида взять цилиндрическую винтовую линию, в качестве прямой направляющей - ось винтовой линии, а за плоскость параллелизма принять плоскость, перпендикулярную оси винтовой линии, то поверхность, образованная при этих условиях, называется винтовым коноидом или прямым геликоидом (рисунок 4.18).

Рисунок 4.18 - Винтовой коноид (прямой геликоид)

На рисунке 4.19 приведен пример прямого открытого геликоида, имеющего конечную толщину поверхности.

Рисунок 4.19 - Прямой открытый геликоид

Поверхности вращения

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения (рисунок 4.20) .

Рисунок 4.20 - Поверхность вращения

Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны. Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан.

Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения i и образующей линии l. Алгоритмическая часть определителя поверхности вращения состоит из операции вращения образующей l вокруг оси i и построения каркаса параллелей необходимой плотности.

При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности вращения) (рисунок 4.21). Вращением прямой линии образуются:

Рисунок 4.21 - Линейчатые поверхности вращения

-цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси i;

-конус вращения, если прямая l пересекает ось i;

-однополостный гиперболоид вращения, если прямая l (ВС) скрещивается с осью i.