Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

Сложение скоростей

Теорема. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

, (12.1)

Рис. 12.2

На рис. 12.2: АВ – траектория точки М в относительном движении;

– относительная скорость точки М;

А₁В₁– положение траектории точки М вследствие переносного движения.

Если угол между и составляет α, то формула (12.1) в скалярном виде будет:

, (12.2)

Сложение ускорений

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного, характеризующего изменение скорости в переносном движении и кориолисово, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.

, (12.3)

где – кориолисово ускорение.

. (12.4)

Кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Если угол между векторами и составляет угол α, то модуль кориолисова ускорения будет равен:

. (12.5)

Частные случаи. Кориолисово ускорение будет равно нулю в следующих случаях:

1. Когда , т.е. переносное движение является поступательным, или, если угловая скорость равна нулю;

2. Когда , т.е. когда относительная скорость равна нулю;

3. Когда и , т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения или, если в данный момент времени вектор параллелен этой оси.

Определение направления кориолисова ускорения (правило Жуковского Е.Н.):

Для определения направления кориолисова ускорения необходимо выполнить следующее:

5. провести плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости;

6. спроектировать на эту плоскость вектор скорости в относительном движении;

7. повернуть проекцию вектора скорости на 90⁰ по ходу вращения переносного движения.

Пример 1.

Точка М в относительном движении из положения движется по диагонали квадрата BCDA по закону , см. Квадрат BCDA вращается вокруг неподвижной оси по закону , рад. Сторона квадрата CD = 4см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение при t = 1c.

Решение

Рис. 12.3

Определим абсолютную скорость точки М в момент времени t = 1c. Точка М перемещается по диагонали прямоугольника из положения . Так как относительное движение прямолинейное, то скорость точки М в относительном движении будет:

.

При t = 1c (м/с); м/с.

Вращательное движение точки М вокруг оси ОО₁ является переносным движением. Траектория переносного движения является окружность с радиусом r. Определим положение точки М на прямой АВ при t = 1c.

(см); см.

Из треугольника MDK следует, что

(см);

см.

Так как точка М совершает в переносном движении вращение по окружности с радиусом r, то скорость в переносном движении будет:

,

где – угловая скорость переносного движения.

;

.

Тогда

(см/с);

см/с.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа.

Так как при сложном движении точки:

,

то вследствие того, что

, тогда см/с.

Абсолютная скорость точки М при t = 1c по модулю равна 43,1 см/с и направлена перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).

Определим абсолютное ускорение точки М согласно теоремы сложения ускорений:

.

Так как в относительном движении точка движется по прямой, то:

.

При t = 1c, (см/с²);

см/с².

Вследствие движения точки М в переносном движении по окружности (рис. 12.4а):

,

где – нормальная составляющая ускорения в переносном движении.

(см/с²);

см/с²., вектор нормальной составляющей ускорения направлен по радиусу к оси вращения.

;

– угловое ускорение в переносном движении;

; .

Тогда ; .

Вектор касательной составляющей ускорения направлен в сторону направления вектора скорости (так как движение ускоренное, вследствие того, что ), т.е. перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).

а) б)

Рис. 12.4

Определим кориолисово ускорение:

или в скалярной форме:

,

где – угол между векторами и .

Так как , то и кориолисово ускорение равно нулю, т.е.:

см/с².

В результате проведенных вычислений установлено, что на точку М в момент времени t = 1c действует три составляющих ускорения: (рис. 12.4б). Векторы лежат в плоскости чертежа и угол между ними составляет 45⁰, тогда модуль суммы этих двух векторов будет:

,

(см/с²);

см/с².

Вектор находится в плоскости чертежа, а вектор – перпендикулярен плоскости чертежа, тогда результирующий вектор – вектор абсолютного ускорения будет:

или в скалярной форме:

(см/с²);

см/с².

Ответ: см/с, см/с².

Пример 2.

Точка М перемещается по окружности диска радиусом R = 2 см по закону из положения А. Диск вращается вокруг неподвижной оси по закону . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c.

Решение

Рис. 12.5

R = 2см;

l = 5см.

Анализ характера движения точки М (рис. 12.5) свидетельствует, что движение по окружности диска радиусом R является относительным, а движение диска вокруг неподвижной оси – переносное движение.

Определим положение точки М на окружности диска в момент t = 1c:

(см).

Длина дуги, пройденная точкой М за 1с, составляет см. Определим длину дуги в радианах:

(рад.)

Отсюда следует, что дуга, пройденная точкой М за 1с, составляет рад., или 90⁰ (положение М). Направление вектора скорости будет направлено по касательной к окружности в этой точке (рис. 12.5).

Определим абсолютную скорость точки М в момент t = 1c. По правилу сложения скоростей:

.

Модуль скорости в относительном движении будет:

; при t = 1c.

(см/с) см/с.

В переносном движении точка М совершает вращательное движение по окружности с радиусом вокруг неподвижной оси (рис. 12.6а).