Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

Сложение двух сил

Пусть на тело действуют две силы, лежащие в одной плоскости (рис. 1.13).

.

Р Рис. 1.13 езультирующая сила определяется по правилу параллелограмма, модуль силы определяется по теореме косинусов или синусов:

; .

Сложение трех сил не лежащих в одной плоскости

Р ассмотрим три силы , , не лежащие в одной плоскости (рис. 1.14). Результирующая сила равна:

.

Направление силы определим по направляющим косинусам:

Рис. 1.14

; ; .

Разложение сил

Разложение сил по двум заданным направлениям

П усть надо силу F разложить по направлениям AB и AD (рис. 1.15).

Рис. 1.15

.

Задача сводится к построению параллелограмма, у которого стороны расположены по направлениям AB и AD и данная сила F является диагональю. Тогда стороны параллелограмма будут искомыми силами.

Разложение сил по трем заданным направлениям.

П

Рис. 1.16

усть направления силы не лежат в одной плоскости. Тогда задача сводится к построению параллелепипеда, у которого диагональю является данная сила, а ребра параллельны заданным направлениям (рис. 1.16).

.

Вопросы для самоконтроля

1. Что изучает статика?

2. Что такое абсолютно твердое тело?

3. Основные виды связей и их реакции?

4. Геометрическое сложение сил?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 1.1 – 1.6 [2]

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 2. Действия над силами. Система сходящихся сил

Проекция силы на ось и на плоскость

П роекция силы на ось. Пусть сила F образует с осью OX угол  (рис. 2.1), тогда проекция этой силы на ось будет:

F_x = Fcos.

П

Рис. 2.1

роекция силы на ось есть величина скалярная.

П роекция силы на плоскость. Проекцией силы F на плоскость OXY называется вектор F_xy = OB₁, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 2.2.)

П

Рис. 2.2

роекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она кроме численного значения характеризуется направлением на плоскости. По модулю F_xy = Fcos, где  - угол между направлением силы F и ее проекцией F_xy.

А налитический способ задания сил. Для аналитического способа задания силы необходимо выбрать систему координат OXYZ и спроектировать силу на оси координат (рис. 2.3).

Направляющие косинусы определяются по формулам:

Рис. 2.3

; ; .

.

Для плоской системы сил:

; ; ; .

Аналитический способ сложения сил

Теорема: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Е сли R = F₁ + F₂ + F₃ + … + F_n, причем (F_1x, F_1y, F_1z), (F_2x, F_2y, F_2z), …, (F_3x, F_3y, F_3z) – наборы проекций этих векторов на оси X, Y и Z то

R_x = F_1x + F_2x + F_3x + … + F_nx = F_ix;

R_y = F_1y + F_2y + F_3y + … + F_ny = F_iy;

R_z = F_1z + F_2z + F_3z + … + F_nz = F_iz;

Модуль результирующей силы:

.

Н аправление результирующего вектора R определяется направляющими косинусами:

; ; .

П ример 1. Определить результирующую силу трех сил F₁, F₂, F₃ проекции которых заданы: F₁(3;3), F₂(6;-2), F₃(-5;-3). Силы заданы в Ньютонах (рис. 2.4).

Р ешение:

R_x = 3 + 6 – 5 = 4H; R_y = 3 – 2 – 3 = -2H;

М

Рис. 2.4

одуль результирующей силы:

Направляющие косинусы:

Равновесие системы сходящихся сил

Система сходящихся сил – это силы, сходящиеся в одной точке (рис. 2.6).

Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

А

Рис. 2.6

налитические условия равновесия. Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

F_kx = 0; F_ky = 0; F_kz = 0.

Теорема о трех силах. Если свободное твердое тело находится в состоянии равновесия под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

F ₁ + F₂ + F₃ = 0

Системы статически определимые и статически неопределимые

Задача статики может быть решена лишь в том случае, когда для нее число неизвестных реакций связей не превышает число уравнений равновесия, содержащих эти реакции. Такие задачи называют статически определенные, а система тел, для которых это имеет место – статически определимыми системами.

Задачи, в которых число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называются статически неопределенные, а система тел для которых это имеет место – статически неопределимыми системами.

П

Рис. 2.7

римером для статически неопределенной системы может служить груз, подвешенный на трех нитях, лежащих в одной плоскости (рис. 2.7). В этой задаче три неизвестные силы натяжения нити T₁, T₂, T₃, а уравнений равновесия в случае плоской системы сходящихся сил можно составить только два.

Решение задач статики

Для решения задач статики необходимо:

1. Выбрать тело, равновесие которого должно быть рассмотрено.

2. Освобождение тела от связей и изображение действующих на него заданных сил и реакций отброшенных связей.

3. Составление уравнений равновесия.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и исследование полученных результатов.

Для решения задач на равновесие тела под действием сходящихся сил можно использовать следующие способы:

а ) Геометрический способ. Применяется если число сил, действующих на тело равно трем. При равновесии треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым.

б) Аналитический способ. Применяется при любом количестве сил, действующих на тело. В случае плоской системы сходящихся сил составляется два уравнения равновесия, а в случае пространственной системы сил – три.

Рис. 2.8а

П ример №3. К вертикальной гладкой стене АВ подвешен на тросе АС однородный шар. Трос составляет со стеной угол , сила тяжести шара Р. Определить силу натяжения троса Т и давление шара на стену Q. Шар находится в равновесии под действием этих трех сил (рис. 2.8а).

Решение.

Р ассмотрим решение задачи геометрическим (графическим) способом. Так как шар находится в равновесии под действием трех сил, то эти силы сходящиеся. Точка, в которой сходятся эти силы, является геометрическим центром шара (точка О). Построим силовой треугольник (рис. 2.8б). Построение начинают с известной силы Р.