Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

Ответ: R = 4,5H;  = 63^o;  = 27^o.

Пример 2. Задана плоская система сил, действующая на точку А. F₁ = 15Н; F₂ = 10Н. Определить равнодействующую силу (рис. 2.5).

Р ешение:

Определим сумму проекций данных сил на оси OX и OY:

Ось OX:

О

Рис. 2.5

сь OY:

Подставляя численные значения получим:

R_x = 19,1Н; R_y = -5,5Н.

Модуль равнодействующей:

Направляющие косинусы: ; .

Ответ: R = 19,9H;  = 74^o;  = 16^o.

Силовой треугольник должен быть замкнут. В данном случае это прямоугольный треугольник. Тогда: ;

О

Рис. 2.8б

твет: ; .

П

А

а)

б)

в)

Рис. 2.9

ример №4. Однородный стержень АВ прикреплен к стенке посредством шарнира А и удерживается под углом 60⁰ к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30⁰ (рис. 2.9а). Определить величину и направление реакции R шарнира, если известно, что вес стержня равен 20Н.

Решение:

Определим силы, действующие на данную конструкцию:

Р – сила тяжести стержня АВ, так как стержень однородный, то сила приложена к его геометрическому центру (точка О).

Т – натяжение троса СВ, направлено вдоль СВ.

R – реакция в шарнире А (направление неизвестно) (рис. 2.9б).

Согласно принципу освобождаемости от связей, заменим связи соответствующими реакциями.

Так как система находится в равновесии под действием трех сил, то эти силы должны сходиться, а поэтому сила реакции R направлена от А к М (точка пересечения сил Р и Т).

Построим силовой треугольник. Для этого выберем произвольную точку О и отложим от нее известную силу Р, сохраняя ее направление. Из конца вектора Р под углом 30⁰ проведем луч, который соответствует направлению силы Т (рис. 2.9в).

Так как <LAO = <AOM (как накрест лежащие углы), то угол <MOB = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰, тогда <OMB = 180⁰ – (120⁰ + 30⁰) = 30⁰, т.е. треугольник ОМВ равнобедренный: сторона ОМ = ОВ. Поэтому ОМ = ОВ = ОА, так как О является серединой АВ, а угол <АOM = 60⁰, то треугольник АОМ является равносторонним. Поэтому <OАM = 60⁰ = <AMO. Из точки О проводим луч под углом 60⁰ к направлению силы Р до пересечения с направлением силы Т. Полученный треугольник прямоугольный, поэтому R = Psin30⁰ = 20/2 = 10H.

Ответ: R = 10H.

Пример №5. Три груза А, В и С массой 10, 20, и 60 кг соответственно лежат на плоскости, наклоненной под углом  к горизонту (рис. 2.10). Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны _А = 0,1, _В = 0,25, _С = 0,5 соответственно.

Определить угол , при котором тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также натяжение тросов Т_АВ и Т_ВС.

Р ешение:

Р

а)

б)

в)

г)

Рис. 2.10

ассмотрим, какие силы действуют на каждое тело и запишем условие равновесия, так как тела движутся равномерно, то

с умма всех сил, действующих на тело равна нулю. На тело А действует сила тяжести Р_А, сила реакции опоры N_А, сила трения F_трА и сила натяжения троса Т_АВ (рис. 2.10б). Условие равновесия: Р_А + N_А + F_трА + Т_АВ = 0.

Выберем систему координат и спроектируем силы на оси:

Ось ОХ Р_Аsin - Р_Аcos - Т_АВ = 0.

Подставляя численные значения получим: 10sin - cos - Т_АВ = 0.

Р ассмотрим, какие силы действуют на тело В: Р_В - сила тяжести, F_трВ - сила трения, Т_ВА- сила натяжения троса со стороны груза А, Т_ВС - сила натяжения троса со стороны груза С, N_В - сила реакции опоры (рис. 2.10в). Тогда условие равновесия будет: Р_В + N_В + F_трВ + Т_ВА + Т_ВС = 0.

Проектируя это уравнение на ось ОХ, получим:

Р_Вsin - F_трВ + Т_ВА - Т_ВС = 0; учитывая, что Т_ВА = Т_АВ:

Р_Вsin - Р_Вcos*_В + Т_ВА - Т_ВС = 0;

30sin - 30cos*0.25 + Т_ВА - Т_ВС = 0;

Н а тело С действуют следующие силы: Р_С - сила тяжести, F_трС - сила трения, Т_СВ- сила натяжения троса со стороны груза В, N_С - сила реакции опоры (рис. 2.10г). Тогда условие равновесия при проектировании на ось ОХ будет:

Р_Сsin - Р_Сcos*_С – Т_СВ = 0; так как Т_ВС = Т_СВ,

60sin - 60*0,5cos – Т_ВС = 0.

Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Так как неизвестные силы перпендикулярны оси y, то на эту ось силы не проектируем.

1 0sin - cos - Т_АВ = 0 (1);

30sin - 7,5cos + Т_ВА - Т_ВС = 0 (2);

60sin - 30cos – Т_ВС = 0 (3).

Отсюда: Т_АВ = 10sin - cos; Т_ВС = 60sin - 30cos.

Подставляя выражения Т_АВ и Т_ВС в уравнение (2), получим:

100sin = 38.5cos; tg = 0.385;  = arctg0.385;  = 21⁰.

Из уравнения (1) получим: Т_АВ = 10sin21⁰ - cos21⁰ = 10*0,358 – 0,93 = 2,67Н.

Т_АВ = 2,67Н.

Подставляя численные данные в уравнение (3), получим:

Т_ВС = 60sin21⁰ - 30cos21⁰ = 60*0,358 – 30*0,93 = 6,42Н;

Т_ВС = 6,42Н.

Ответ:  = 21⁰; Т_АВ = 2,67Н; Т_ВС = 6,42Н.

Вопросы для самоконтроля

1. Аналитический способ сложения сил?

2. Что такое система сходящихся сил?

3. Теорема о трех силах?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 2.1 – 2.71 [2]

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 3. Момент силы относительно центра (точки)

М оментом силы F относительно центра О (m₀(F)) (рис. 3.1) называется величина, равная произведению модуля силы на длину плеча. Момент силы величина векторная

В скалярном виде: m₀(F) =  F*h.

Знак (+) – если сила вращает тело против часовой стрелки.

З

Рис. 3.1

нак (-) – если сила вращает тело по часовой стрелке.

Момент силы измеряется в (Нм).

В векторной форме: m₀(F) = rF.

Т



Рис. 3.2

огда модуль момента силы будет: m₀(F) = r*Fsin.

В ектор момента силы перпендикулярен плоскости , в которой лежат вектора r и F (рис. 3.2).

Свойства момента силы:

1. Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

2. Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3 . Момент силы числено выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис. 3.3).

m₀(F) = 2пл.АОВ

Рис. 3.3

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра (рис. 3.4).

m ₀(R) =  m₀(F_n)

Рис. 3.4

С истемы параллельных сил и пар, расположенных в одной плоскости.

Сложение и разложение параллельных сил.

С

Рис. 3.5

ложение двух сил, направленных в одну сторону.

Н а тело действуют две силы F₁ и F₂: (рис. 3.5).R = F₁ + F₂. Равнодействующая двух действующих на твердое тело параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в одну и ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения слагаемых сил на расстоянии от этих точек, обратно пропорциональных силам.

С ложение двух сил, направленных в разные стороны

Н

Рис. 3.6

а тело действуют две силы F₁ и F₂. R = F₁ - F₂ (рис. 3.6). Тогда равнодействующая двух сил, направленных в разные стороны, равна по модулю разности модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в сторону большей силы; линия действия равнодействующей проходит вне отрезка, ; соединяющего точки приложения слагаемых сил, на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных силам.

П ара сил. Момент пары

П арой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на твердое тело. (F₁ = F₂; F₁ || F₂) (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Пара сил не имеет равнодействующей силы.

Плоскость, проходящая через линии действия пары сил, называется плоскостью действия пары.

М оментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на ее плечо: m =  Fd; m = m_B(F) = m_A(F).

Т

Рис. 3.8

еорема. Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра, лежащего в плоскости ее действия, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары (рис. 3.8).

m₀(F₁) + m₀(F₂) = m(F)

Эквивалентность пар

Н

Рис. 3.9

е изменяя оказываемого действия на твердое тело, можно пару сил, приложенную к телу заменить любой другой парой, лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент (рис. 3.9).

m(F) = m(P).

Следствия теоремы

1. Данную пару, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары.

2. У данной пары, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.