Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

30. Равномерная сходимость

Определение 17. Говорят, что последовательность fn(x) сходится равномерно к f(x) на множестве X, если для любого " > 0 найдется такой номер N, ÷òî äëÿ âñåõ n > N будет выполняться неравенство jfn(x) f(x)j < " äëÿ âñåõ x 2 X.

Фактически это означает, что если окружить f(x) полосой между f(x) " è f(x)+", òî äëÿ âñåõ n > N функции fn(x) должны лежать в этом коридоре. И так при любом " > 0 (ñì. ðèñ. 44).

y 6

f(x) + "

f(x)

f(x) "

q

	-
0 a		b x

Ðèñ. 44

Равномерная сходимость функций fn(x) fn(x) f(x):

ê f(x) обозначается так:

Последовательность функций из примера 21 не является равномерно сходящейся, так как при любом " < 1=2 ни одна из функций

fn(x) не будет целиком лежать в коридоре между f(x) " è f(x)+".

31. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть имеется последовательность функций u1(x); : : : ; un(x); : : :.

Определение 18. Функциональным рядом называется символ u1(x) + u2(x) + : : : + un(x) + : : : èëè

∑1

un(x):

n=1

Определение 19. Частичной суммой функционального ряда называется функция

Sn(x) = u1(x) + u2(x) + : : : + un(x):

Определение 20. Функция S(x) называется суммой ряда, если

Sn(x) ! S(x).

Определение 21. Ряд называется равномерно сходящимся, если последовательность частичных сумм Sn(x) сходится равномерно.

32. Признак Вейрштрасса равномерной сходимости рядов

Теорема 21 (признак Вейрштрасса). Åñëè äëÿ âñåõ x 2 X âû-
сходится, то ряд	n1=1 un(x) сходится равномерно на X.	∑
полняются неравенства jun(x)j cn, n = 1; 2; : : :, è ðÿä		n1=1 cn
	∑

Пример 22. При каких x ðÿä

∑1 sin nx

n=1

сходится равномерно?

Ïðè âñåõ x 2 R справедливо неравенство

				j sin nxj	1		:
	∑			n2		n2
Ðÿä	∑	1	1
		1	1
		n=1 n2 сходится. По признаку Вейрштрасса исходный ряд

сходится равномерно на всей числовой оси. Пример 23. Доказать, что ряд

1 + x + x2 + : : : + xn + : : :

сходится равномерно на любом отрезке [a; b] (						1; 1).
Положим q	= maxfj	a ; b	jg	. Тогда q < 1 è äëÿ âñåõ x			2	[a; b] âû-
		j j			. Поскольку ряд			сходит-
полняется неравенство jxjn qn						∑n1=1 qn

ся, исходный ряд по признаку Вейрштрасса равномерно сходится на отрезке [a; b].

33. Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 22 (о непрерывности равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций). Пусть

∑1

un(x) S(x)

n=1

íà X è un(x) непрерывны на X ïðè âñåõ n. Тогда S(x) непрерывна на X.

Теорема 23 (о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда). Пусть

∑1

un(x) S(x)

n=1

íà [a; b] è un(x) непрерывны на [a; b] ïðè âñåõ n. Тогда

∑		un(x) dx = ∫a
1	b		b
n=1	∫a		S(x) dx:

Иначе говоря, теорема утверждает, что

	∑	∑	∫a
b	1	1		b
∫a	(n=1 un(x))dx = n=1			un(x) dx:

Пример 24. Рассмотрим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 + x + x2 + : : : + xn + : : : = 1 1 x:

В примере 23 было доказано, что этот ряд сходится на любом отрезке из интервала ( 1; 1) равномерно. Следовательно, по тео-

ðåìå 23

∫0 t

1 dx + ∫0 t x dx + ∫0 t x2 dx + : : : + ∫0 t xn dx + : : : = ∫0 t

dx:

Отсюда при всех t 2 (

1; 1)

t +

+ : : : +

+ : : : = ln(1 t):

Положив t =

x, получаем

n+1 xn

+ : : : + ( 1)

+ : : : = ln(1 + x):

(14)

Можно доказать, что это равенство остается верным и при x = 1, ò.å.

1	1	+	1		1	+ : : : + ( 1)	n+1 1		+ : : : = ln 2:
	2		3		4			n

Теорема 24 (о почленном дифференцировании). Пусть функции un(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b],

∑1

un(x) ! S(x)

n=1

∑1

u′n(x) F (x):

n=1

Тогда F (x) = S′(x).

Иными словами, теорема утверждает, что

(u1(x) + u2(x) + : : : + un(x) + : : :)′ = u′1(x) + u′2(x) + : : :+ u′n(x) + : : : :

Пример 25. Рассмотрим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 + x + x2 + : : : + xn + : : : =			1		:
			x
1
Рассмотрим также ряд из производных
1 + 2x + : : : + nxn 1 + : : : :							(15)
На любом отрезке [a; b] ( 1; 1) выполняется неравенство
jnxn 1j nqn 1;							∑
сходится (например, по признаку Даламбера). Тем
ãäå q = maxfjaj; jbjg < 1. Нетрудно доказать, что ряд								n1=1 nqn 1
						самым ряд (15)
равномерно сходится, а из теоремы 24 имеем
1 + 2x + : : : + nxn 1 + : : : = (	1	)′	=	1				:
	1 x			(1 x)2

Определение 22. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn + : : : ;

ãäå a0; a1; : : : ; an; : : :

вещественные

èëè

комплексные

числа

(un(x) = anxn).

Теорема 25 (Абеля). Åñëè ðÿä

n1=0 anxn сходится в точке x0,

абсолютно при всех

таких, что

jxj

< jx0j

. Åñëè

то он сходится

∑ x

æå ðÿä

n1=0 anx

расходится в точке x0 или сходится условно,

òî îí

расходится при всех

таких, что

jxj

> jx0j

∑

n1=0 anxn

Доказательство. Пусть ряд

сходится в точке x0. Ïî

необходимому признаку lim

n!1

= 0. Следовательно, последо-

вательность

∑

такое, что

fanx0 g

ограничена, т.е. существует

M > 0

janx0 j

< M äëÿ âñåõ n. Тогда для всех jxj < jx0j имеем

jxjn

Mqn; q =

jxj

< 1:

0 jjx0jn

jx0j

Ðÿä

Mqn

сходится (как сумма бесконечно убывающей гео-

n=0

anx

метрической прогрессии). По признаку сравнения ряд

n=0

∑

Следовательно, ряд

xn абсолютно сходится.j j

тоже сходится.

n=0

∑

Пусть ряд

расходится в точке

x0 или сходится условно.

n=0 anx

∑

Åñëè áû

этот ряд сходился в какой-либо точке

jxj >

jx0j

, òî ïî

∑

доказанному выше он должен был сходится абсолютно в точке x0.

Полученное противоречие доказывает, что он расходится во всех
точках jxj > jx0j.

Лекция 23 марта 2021 г.

34. Радиус сходимости степенного ряда. Формулы для радиуса сходимости

Положим

n=0 anxn сходится}:

R = sup{jxj : ðÿä

∑

Из теоремы Абеля следует, что при jxj < R ðÿä

n1=0 anxn сходит-

называется радиусом сходимости ∑

n расходится. Число

ся абсолютно, а при

jxj > R

ðÿä

n=0 anx

∑

степенного ряда (возможно, что

R = 1 èëè R = 0).

. Предположим, что существует

Пусть дан ряд ∑n1=0 anxn

an+1

lim

= L:

Даламбера. Имеем

n!1 janj

∑n=0 j

Зафиксируем x и применим к числовому ряду

признак

lim

jan+1jjxjn+1

= L

n!1 janjjxjn

ïðè Ljxj > 1 он расходится.

∑

сходится при Ljxj < 1, à

По признаку Даламбера ряд

n1=0 janxnj

Следовательно,

R =

= lim

janj

n!1 jan+1j

Если провести аналогичные рассуждения, но воспользоваться радикальным признаком Коши, то получим следующую формулу для радиуса сходимости

R =	1	:


	n
	limn!1 √janj

Примеры. Исследовать на сходимость ряды

1.	1	xn				x2		xn
				x
	∑		= 1 +		+		+ : : : +		+ : : : :
		n!		1!		2!		n!

n=0

Имеем

Следовательно,

		1

R = lim		n!
R = lim		1
n	!1	1
	!1

(n + 1)!

1 an = n!:

= lim (n + 1)! = lim (n + 1) = 1:

n!1 n! n!1

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния