Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y 6

+		+	-
			-
a	0	a x

Ðèñ. 18

Геометрически это свойство отражает тот факт, что в силу четности функции площади криволинейных трапеций в правой полуплоскости и в левой полуплоскости равны. Поэтому достаточно по- считать только одну из этих площадей и удвоить ее значение.

2. Вычисление площади криволинейной трапеции в случае параметрического задания кривой.

y 6 {

y = y(t);

x = x(t):

0 a

Ðèñ. 19

Пусть функция задана параметрически

{

y = y(t);

t :

x = x(t);

Если бы она задавалась в виде y = f(x), то площадь вычислялась бы по формуле ∫ b

S = f(x) dx:

Сделаем в этом интеграле замену x = x(t). Тогда

∫

S = f(x(t)) dx(t):

Òàê êàê f(x(t)) = y(t), получаем формулу

∫

S = y(t)x′(t) dt:

Пример 5. Вычислить площадь под одной аркой циклоиды

y = R(1		cos t);
{x = R(t		sin t);	0 t 2 :
y 6
'PiR	$
Pq
&%			-
0			2 R x

Ðèñ. 20

Имеем

∫0

S =

∫0

2 R(1 cos t) dR(t sin t) = R2

2 (1 cos t)2 dt

cos 2t

) dt

= R2

∫0

(1 2 cos t+cos2 t) dt = R2

∫0

2 cos t +

1 +

= R2

(

2 sin t +

sin 2t) 0

= 3 R2:

3. Вычисление площади в полярной системе координат. Пусть на плоскости дана точка (x; y). Обозначим через ее расстояние

до начала координат, а через φ угол, который ее радиус вектор составляет с осью Ox.

y	6		3 (x; y)
sin φ




		φ		-
0		cos φ		x

Ðèñ. 21

Тогда имеют место равенства

{

x = cos φ;

y = sin φ;

Тем самым мы сопоставили точке (x; y) координаты ( ; φ), которые

называются полярными координатами.

Пусть задана кривая в полярной системе координат = (φ),. Требуется найти площадь криволинейного сектора. Разделим весь сектор на n секторов = φ0 < φ1 < : : : < φn = .

y	6				#		= (φ)
					#
				##


	##



		#
	#					(((
	#					(((
			(	(((
	#		(
	(((					-
	#((					-
0								x

Ðèñ. 22

В каждом секторе выберем угол k ( k 2 [φk 1; φk]) и заменим площадь k-го криволинейного сектора на площадь кругового сек-

тора с углом ∆φk = φk

φk 1 и радиусом ( k).

φk

φk 1

Ðèñ. 23

Площадь такого кругового сектора равна sk = 12 2( k)∆φk:

Тогда мы фактически заменяем площадь всего криволинейного сектора на сумму площадей всех n круговых секторов

S ∑n 12 2( k)∆φk:

k=1

Площадь криволинейного сектора тогда определяется как предел этих сумм, то есть интеграл

	∑
	n
S	lim	1	2		φ		1	∫	2		φ		dφ:
	= d(T ))!0 k=1	2		(	k)∆	k =	2	∫		(		)

Èòàê,

S = 1 ∫ 2(φ) dφ:

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой = a(1 + cos φ), 0 φ 2 .

y	6
y	6
a
a
			-



	0	2a	x

Ðèñ. 24

Имеем

∫0

S =

a2(1 + cos φ)2 dφ =

(1 + 2 cos φ + cos2 φ) dφ

cos 2φ

∫0

(1 + 2 cos φ +

1 +

) dφ

sin 2φ

4. Вычисление объемов тел.

Пусть некоторое тело расположено

= 2 (

φ + 2 sin φ +

) 0

2 a2

между плоскостями x = a è x = b, и в каждой точке a x b известна площадь сечения тела S(x).

Разобьем отрезок [a; b] íà n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xn = b. В каждом отрезке [xk 1; xk] выберем точку k. На отрез- êå [xk 1; xk] заменим вычисление объема соответствующего куска заданного тела на вычисление объема цилиндра с площадью основания S( k). Тогда

	∑				∫a
	n					b
V	lim	S	x			S	x		dx:
	= d(T )!0 k=1	( k)∆		k =		(		)

z 6

b x

Ðèñ. 25

xk 1

Ðèñ. 26

Тем самым получена формула для вычисления объема

∫ b

V = S(x) dx:

5. Вычисление объема тел вращения. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y = f(x).

y 6
	y = f(x)
aq	6	bq	x
aq	xq	bq	x
	R		-
			-

Ðèñ. 27

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния