Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

106

Лекция 11 мая 2021 г.

72. Вычисление поверхностного интеграла I-го рода

Напомним, что поверхностный интеграл I-го рода от функции f(x; y; z) по поверхности S определяется следующим образом

∫∫S	(	) = d(T )!0 j=1	j j
		∑
		N
	f x; y; z	ds lim	f(P )∆q ;

ãäå ∆qj площади кусков, на которые разбита поверхность S. Рассмотрим случай, когда поверхность S задается функцией z =

φ(x; y) в области D. Разобьем область D на части D1; : : : ; DN è â каждой части выберем точку (xj; yj). Построим на каждой части Dj цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эта поверхность вырежет на поверхности S некоторую часть, которую обозначим Sj. Положим

Pj = (xj; yj; φ(xj; yj)):

Точка Pj находится на поверхности Sj. Таким образом, мы полу- чили разбиение поверхности S. Посчитаем площади ∆qj = jSjj. Проведем касательную плоскость к поверхности S в точке Pj è çà- меним jSjj на площадь куска касательной плоскости, вырезаемой той же цилиндрической поверхностью. Обозначим этот кусок через Qj. Тогда Dj есть проекция плоского куска Qj на плоскость Oxy, причем угол, который этот плоский кусок составляет с плоскостью Oxy равен углу, которая нормаль касательной к поверхности S â

точке Pj составляет с осью Oz (угол между плоскостями такой же, как между их нормалями). Заменим площадь Sj на площадь Qj (они совпадают с точностью до бесконечно малых более высокого порядка). Обозначим угол между нормалью и осью Oz через j. Тогда

jDjj = jQjj cos j:

Отсюда

∆qj = jSjj jQjj = jDjj : cos j

Таким образом,

∫∫S	= d(T )!0 j=1	(	j)cosj		jj
	∑
	N			Dj
f(x; y; z) ds	lim	f P				:

Нормаль к поверхности, задаваемой уравнением z = φ(x; y) имеет

âèä

n = ( φ′x; φ′y; 1):

107

Поэтому

Следовательно,

√1 + φx′2

(xj; yj) + φy′2(xj; yj)

cos

j =

∫∫S

d(T )!0 j=1

(

j) 1 +

x′ ( j j) +

y′ ( j

j)j jj

∑

√

f(x; y; z) ds = lim

f P

φ 2 x ; y

= ∫∫D f(x; y; φ(x; y))

√

1 + φx′2

(x; y) + φy′2(x; y) dxdy: (34)

Пример 45. Найти площадь поверхности сферы радиуса R. Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат.

Точки на сфере удовлетворяют равенству x2 + y2 + z2 = R2. Âåðõ-

няя часть сферы S+ задается функцией

√

z = R2 x2 y2:

Посчитаем площадь поверхности верхней половины сферы

∫∫∫∫ √

S+

1 ds =

1 + z′2

(x; y) + z′2(x; y) dxdy

S+

√

= ∫∫D

1 + R2

y2 + R2

y2 dxdy

= R ∫∫D

1x2

y2 dxdy;

√

ãäå D круг радиуса R с центром в начале координат. Перейдем в последнем интеграле к полярным координатам. Имеем

d 2

√

jS+j = R ∫0

dφ ∫0

2 = R ∫0

√

= 2 R R2

= 2 R :

Тем самым jSj = 4 R2.

73. Поверхностный интеграл II-го рода

Пусть имеется поверхность S, в каждой точке которой существу-

ет касательная плоскость, которая непрерывно меняется вместе с точкой касания. Проведем в точке M поверхности нормаль. Возь-

мем замкнутый контур, проходящий через точку M и не пересека-

ющий границу поверхности (если такая есть). Будем непрерывно перемещать нормаль, исходящую из точки M, по замкнутой кри-

вой. Тогда существуют две возможности: либо мы вернемся в точку M с тем же направлением нормали, либо при возвращении в точку

108

M направление нормали изменится на противоположное. Во вто-

ром случае поверхность называется односторонней. Классический пример такой поверхности лист Мебиуса, который получается, если склеить прямоугольный кусок бумаги, перекрутив концы.

Мы будем в дальнейшем рассматривать двусторонние поверхности, для которых по любой замкнутой кривой, не пересекающей границы поверхности, возврат в исходную точку происходит с тем же направлением нормали, которое было вначале.

Пусть задана двухсторонняя поверхность S и выбрана сторона

этой поверхности, т.е. в каждой точке имеется нормаль, которая непрерывно перемещается вместе с перемещением выбранной точ- ки. Пусть в точках этой поверхности задана функция f(M). Ðàçî-

бьем поверхность на куски S1; : : : ; SN и в каждом куске выберем точку Mj. Полученное разбиение обозначим через T .

Определение 55. Поверхностным интегралом II-го рода называ-

åòñÿ	∫∫S	(	)	= d(T )!0 j=1	j j
	∫∫S	(	)	= d(T )!0 j=1	j j
				∑
				N
		f x; y; z	dxdy	lim	f(M )Q ;

ãäå Qj = jDjj, если нормаль в точке Mj составляет острый угол ñ îñüþ Oz è Qj = Djj в противном случае, а Dj область на плоскости Oxy, в которую проецируется Sj.

Таким образом, отличие поверхностного интеграла II-го рода от I-го состоит в том, что в интегральных суммах значения функции умножается не на площадь куска Sj, а на площадь его проекции с учетом стороны поверхности.

Аналогично можно определить интегралы
∫∫S f(x; y; z) dydz;	∫∫S f(x; y; z) dxdz

с проекциями на плоскости Oyz è Oxz.

Определение 56. Составным поверхностным интегралом II-го

рода называется интеграл

∫∫

P dydz + Q dxdz + R dxdy

∫∫ ∫∫ ∫∫

= P dydz + Q dxdz + R dxdy:

S S S

74. Свойства поверхностного интеграла II-го рода и его физический смысл

Для краткости выпишем свойства поверхностного интеграла IIго рода только для одного вида из трех, например, для проекции на ось Oxy.

109

∫∫S Cf(M) dxdy = C ∫∫S f(M) dxdy:

∫∫S(f(M) + g(M)) dxdy = ∫∫S f(M) dxdy + ∫∫S g(M) dxdy:

∫∫S f(M) dxdy = ∫∫S1

f(M) dxdy + ∫∫S2

f(M) dxdy:

AKA

Ðèñ. 69

∫∫S f(M) dxdy =

∫∫S

f(M) dxdy;

ãäå S поверхность S, на которой выбрана противоположная сторона.

Пусть задана поверхность S с выбранной стороной и векторное поле скоростей течения жидкости (газа)

V (M) = (P (M); Q(M); R(M)):

Физический смысл составного поверхностного интеграла II-го рода

∫∫

P dydz + Q dxdz + R dxdy

(35)

состоит в том, что он равен количеству жидкости (газа), протекающего через эту поверхность за единицу времени.

Величина (35) называется поток вектора

V (M) = (P (M); Q(M); R(M))

через поверхность S.

110

75. Вычисление поверхностного интеграла II-го рода

Рассмотрим случай, когда поверхность S задается функцией z = φ(x; y) в области D. Выберем ту сторону поверхности S, нормаль к которой составляет острый угол с осью Oz. Разобьем об- ласть D на части D1; : : : ; DN и в каждой части выберем точку (xj; yj). Построим на каждой части Dj цилиндрическую поверх- ность с образующей, параллельной оси Oz. Эта поверхность вы-

режет на поверхности S некоторую часть, которую обозначим Sj. Положим

Mj = (xj; yj; φ(xj; yj)):

Точка Mj находится на поверхности Sj. Таким образом, мы получи- ли разбиение поверхности S. В силу выбора стороны поверхности площадь проекции куска Sj совпадает с jDjj. Поэтому

∫∫S	(	)	= d(T )!0 j=1	j j	∫∫D
			∑
			N
	f x; y; z	dxdy	lim	f(M )Q	=	f(x; y; φ(x; y)) dxdy:
						(36)
Если поверхность S задана уравнением y						= φ(x; z) в области

D и выбрана та сторона поверхности, нормаль к точкам которой составляет острый угол с осью Oy, то имеет место аналогичная формула ∫∫ ∫∫

f(x; y; z) dxdz = f(x; φ(x; z); z) dxdz:

S D

Для поверхности x = φ(y; z):

∫∫ ∫∫

f(x; y; z) dydz = f(φ(y; z); y; z) dydz:

S D

Åñëè S цилиндрическая поверхность с образующей, перпенди-

кулярной плоскости Oxy, òî

∫∫

f(x; y; z) dxdy = 0:

	z	6	S
			S




	O			-y
	O			-y


x

Ðèñ. 70

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния