Материал: М. М. Стальмакова

Автономная некоммерческая организация высшего образования «МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра экономики и управления Форма обучения: заочная

ВЫПОЛНЕНИЕ

ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Моделирование экономических процессов


Группа Кд19Э111
Студент
М.М. Стальмакова


МОСКВА 2023


ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
№ 1. Составить план производства продукции, обеспечив максимум прибыли, учитывая ограничения, заданные в таблице 1.

Таблица 1. Линейная оптимизация

	Расход сырья (доли)				Прибыль от реализации единицы продукции, руб.
	Сырье 1	Сырье 2	Сырье 3	Сырье 4
Продукт 1	0,2	0,3	0,1	0,4	120
Продукт 2	0,4	0,1	0,3	0,2	150
Продукт 3	0,6	0,1	0,1	0,2	110
Наличие сырья на складе, кг	850	640	730	1000

F(X) = 120x

₁+150x₂+110x₃ целевая функция равная прибыли, где x₁ - количество продукта 1, x₂ - количество продукта 2, x₃ - количество продукта 3,

Для нахождения максимальной прибыли найдем решение прямой задачи линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 120x₁+150x₂+110x₃ при следующих условиях-ограничениях (наличие сырья на складе).

0.2x₁+0.4x₂+0.6x₃≤850

0.3x₁+0.1x₂+0.1x₃≤640

0.1x₁+0.3x₂+0.1x₃≤730

0.4x₁+0.2x₂+0.2x₃≤1000

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

0.2x₁+0.4x₂+0.6x₃+x₄ = 850

0.3x₁+0.1x₂+0.1x₃+x₅ = 640

0.1x₁+0.3x₂+0.1x₃+x₆ = 730

0.4x₁+0.2x₂+0.2x₃+x₇ = 1000
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

0.2	0.4	0.6	1	0	0	0
0.3	0.1	0.1	0	1	0	0
0.1	0.3	0.1	0	0	1	0
0.4	0.2	0.2	0	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₄, x₅, x₆, x₇

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X0 = (0,0,0,850,640,730,1000)
Базисное решение называется допустимым

, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	850	0.2	0.4	0.6	1	0	0	0
x5	640	0.3	0.1	0.1	0	1	0	0
x6	730	0.1	0.3	0.1	0	0	1	0
x7	1000	0.4	0.2	0.2	0	0	0	1
F(X0)	0	-120	-150	-110	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.

1. 
   Проверка критерия оптимальности.
   

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. 
   Определение новой базисной переменной.
   

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. 
   Определение новой свободной переменной.
   

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (850 : 0.4 , 640 : 0.1 , 730 : 0.3 , 1000 : 0.2 ) = 2125

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (0.4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x4	850	0.2	0.4	0.6	1	0	0	0	2125
x5	640	0.3	0.1	0.1	0	1	0	0	6400
x6	730	0.1	0.3	0.1	0	0	1	0	2433.33
x7	1000	0.4	0.2	0.2	0	0	0	1	5000
F(X1)	0	-120	-150	-110	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₄ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=0.4. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₂ записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (0.4), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
850	0.2	0.4	0.6	1	0	0	0
640	0.3	0.1	0.1	0	1	0	0
730	0.1	0.3	0.1	0	0	1	0
1000	0.4	0.2	0.2	0	0	0	1
0	-120	-150	-110	0	0	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	2125	0.5	1	1.5	2.5	0	0	0
x5	427.5	0.25	0	-0.05	-0.25	1	0	0
x6	92.5	-0.05	0	-0.35	-0.75	0	1	0
x7	575	0.3	0	-0.1	-0.5	0	0	1
F(X1)	318750	-45	0	115	375	0	0	0

Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (2125 : 0.5 , 427.5 : 0.25 , - , 575 : 0.3 ) = 1710

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (0.25) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x2	2125	0.5	1	1.5	2.5	0	0	0	4250
x5	427.5	0.25	0	-0.05	-0.25	1	0	0	1710
x6	92.5	-0.05	0	-0.35	-0.75	0	1	0	-
x7	575	0.3	0	-0.1	-0.5	0	0	1	1916.67
F(X2)	318750	-45	0	115	375	0	0	0