Материал: М. М. Стальмакова

метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен c₂₁=2. Для этого элемента запасы равны 550, потребности 450. Поскольку минимальным является 450, то вычитаем его.

x₂₁ = min(550,450) = 450.

x	4	9	3	400
2	11	8	4	550 - 450 = 100
x	8	6	5	300
450 - 450 = 0	250	200	350

Искомый элемент равен c₁₄=3. Для этого элемента запасы равны 400, потребности 350. Поскольку минимальным является 350, то вычитаем его.

x₁₄ = min(400,350) = 350.

x	4	9	3	400 - 350 = 50
2	11	8	x	100
x	8	6	x	300
0	250	200	350 - 350 = 0

Искомый элемент равен c₁₂=4. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 250. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x₁₂ = min(50,250) = 50.

x	4	x	3	50 - 50 = 0
2	11	8	x	100
x	8	6	x	300
0	250 - 50 = 200	200	0

Искомый элемент равен c₃₃=6. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 200. Поскольку минимальным является 200, то вычитаем его.

x₃₃ = min(300,200) = 200.

x	4	x	3	0
2	11	x	x	100
x	8	6	x	300 - 200 = 100
0	200	200 - 200 = 0	0

Искомый элемент равен c₃₂=8. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 200. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.

x₃₂ = min(100,200) = 100.

x	4	x	3	0
2	11	x	x	100
x	8	6	x	100 - 100 = 0
0	200 - 100 = 100	0	0

Искомый элемент равен c₂₂=11. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.

x₂₂ = min(100,100) = 100.

x	4	x	3	0
2	11	x	x	100 - 100 = 0
x	8	6	x	0
0	100 - 100 = 0	0	0

	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	4[50]	9	3[350]	400
A2	2[450]	11[100]	8	4	550
A3	3	8[100]	6[200]	5	300
Потребности	450	250	200	350

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 4*50 + 3*350 + 2*450 + 11*100 + 8*100 + 6*200 = 5250
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 4; 0 + v₂ = 4; v₂ = 4

u₂ + v₂ = 11; 4 + u₂ = 11; u₂ = 7

u₂ + v₁ = 2; 7 + v₁ = 2; v₁ = -5

u₃ + v₂ = 8; 4 + u₃ = 8; u₃ = 4

u₃ + v₃ = 6; 4 + v₃

= 6; v₃ = 2

u₁ + v₄ = 3; 0 + v₄ = 3; v₄ = 3

	v1=-5	v2=4	v3=2	v4=3
u1=0	7	4[50]	9	3[350]
u2=7	2[450]	11[100]	8	4
u3=4	3	8[100]	6[200]	5

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij
(2;3): 7 + 2 > 8; ∆₂₃ = 7 + 2 - 8 = 1 > 0

(2;4): 7 + 3 > 4; ∆₂₄ = 7 + 3 - 4 = 6 > 0

(3;4): 4 + 3 > 5; ∆₃₄ = 4 + 3 - 5 = 2 > 0

max(1,6,2) = 6

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 4

Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	7	4[50][+]	9	3[350][-]	400
2	2[450]	11[100][-]	8	4[+]	550
3	3	8[100]	6[200]	5	300
Потребности	450	250	200	350

Цикл приведен в таблице (2,4 → 2,2 → 1,2 → 1,4).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	B1	B2	B3	B4	Запасы
A1	7	4[150]	9	3[250]	400
A2	2[450]	11	8	4[100]	550
A3	3	8[100]	6[200]	5	300
Потребности	450	250	200	350

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.
u₁ + v₂ = 4; 0 + v₂ = 4; v₂ = 4

u₃ + v₂ = 8; 4 + u₃ = 8; u₃ = 4

u₃ + v₃ = 6; 4 + v₃ = 6; v₃ = 2

u₁ + v₄ = 3; 0 + v₄ = 3; v₄ = 3

u₂ + v₄ = 4; 3 + u₂ = 4; u₂ = 1

u₂ + v₁ = 2; 1 + v₁ = 2; v₁ = 1

	v1=1	v2=4	v3=2	v4=3
u1=0	7	4[150]	9	3[250]
u2=1	2[450]	11	8	4[100]
u3=4	3	8[100]	6[200]	5

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij
(3;1): 4 + 1 > 3; ∆₃₁ = 4 + 1 - 3 = 2 > 0

(3;4): 4 + 3 > 5; ∆₃₄ = 4 + 3 - 5 = 2 > 0

max(2,2) = 2

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 3

Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	7	4[150][+]	9	3[250][-]	400
2	2[450][-]	11	8	4[100][+]	550
3	3[+]	8[100][-]	6[200]	5	300
Потребности	450	250	200	350

Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,2 → 1,2 → 1,4 → 2,4 → 2,1).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Х