Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ

Часть 2

Учебное пособие

Воронеж 2013

ФГБОУ ВПО “Воронежский

государственный технический университет”

А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть 2

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2013

УДК 517.2

Бырдин А.П. Математический анализ : учеб. пособие / А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко. Воронеж: ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2013. Ч. 2. 164 с.

В учебном пособии излагается курс математического анализа. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров, приведены задачи для самостоятельного решения.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 160700.65 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», дисциплине ”Математический анализ”.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 и содержится в файле РД-МатАнализ-Часть2.doc.

Ил. 22. Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф.

В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин);

канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов

• Бырдин А.П., Заварзин Н.В.,

Сидоренко А.А., 2013

• Оформление. ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2013

Введение

Настоящее учебное пособие написано авторами на основе лекций, читаемых на протяжении ряда лет студентам специальности “Проектирование авиационных и ракетных двигателей” Воронежского государственного технического университета. Пособие написано в соответствии с программой курса “Математический анализ” и может быть использовано как студентами специальностей с повышенной математической подготовкой, так и студентами других специальностей.

Учебное пособие содержит также дополнительный материал, рекомендованный студентам для самостоятельного изучения. Содержание этих разделов используется для выполнения курсовых работ по спецдисциплинам, а также для выступлений “продвинутой” части аудитории на семинарских занятиях и в студенческой исследовательской работе. При написании учебного пособия использовались учебники, рекомендуемые в ведущих ВТУЗах России - МЭИ, МИЭТ, МИФИ и др. Авторы стремились подчеркнуть прикладные аспекты математики, развивающейся более трех столетий на плодотворной почве естественных и технических наук.

Пособие состоит из четырех глав. В каждой главе приводятся необходимые теоретические сведения (основные понятия, теоремы, определения, доказательства и т.д.), а также примеры к каждому разделу курса. По каждому изучаемому разделу приведены также задачи для самостоятельного решения. Поэтому представленное учебное пособие может быть использовано преподавателями для проведения семинарских и практических занятий.

1. Комплексные числа и действия над ними

1.1. Комплексные числа. Основные определения

Определение. Комплексные числа ᴢ называется выражение вида , где x и y - любые действительные числа, а i - мнимая единица, определяемая равенством или ( называется алгебраической формой записи комплексного числа).

Пример. ; .

Число x называется действительной или вещественной частью числа , а - мнимой частью. Их обозначают так: , . Тогда можно записать: . Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то получается действительное число: . Отсюда следует, что множество комплексных чисел содержит в себе как часть множество действительных чисел. Два комплексных числа и , которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряженными. Понятие равенства комплексных чисел вводится по следующему правилу: два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. То есть <=> , . Отсюда следует, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки с координатами и . И обратно, каждой точке плоскости соответствует комплексное число . Плоскость в этом случае называется плоскостью комплексной переменной и на ней ставится обозначение .

Точкам плоскости , лежащим на оси , соответствуют действительные числа . Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа, так как на ней . Поэтому при изображении комплексного числа ось называется действительной осью, а ось - мнимой.

В ряде случаев комплексное число удобно трактовать как вектор , соединяющий точку с началом координат.

Для получения тригонометрической формы записи комплексного числа введем в рассмотрение полярную систему координат. В этом случае т. называется полюсом, а полупрямая - полярной осью. Положение т. М на плоскости в полярной системе координат определяется двумя числами: числом - расстоянием от т. М до полюса и числом - величиной угла в радианах, составляемого вектором с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла - считается направление против часовой стрелки. Числа и называются полярными координатами т. М (полярный радиус и полярный угол рис.1) .

M(x,y)

x

Рис.1

Из рис.1 вытекает следующая связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами:

(*).

Тогда комплексное число z можно записать в следующей форме:

, или (1.1)

Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа. Величина называется модулем комплексного числа и обозначается ; величина называется аргументом комплексного числа и обозначается . Из рис.1 легко получить выражение для модуля комплексного числа . Для аргумента получаем выражение . Очевидно, что аргумент комплексного числа не является однозначной функцией, так как соотношениям (*) удовлетворяет бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на слагаемое , где . Поэтому вводится понятие главного значения аргумента комплексного числа и удовлетворяющего соотношению

.

В ряде случаев главное значение аргумента комплексного числа удобно вычислять с помощью таблицы

Пример. Записать комплексное число в тригонометрической форме.