Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Придавая k значениям получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы корней будут отличаться от уже полученных на число, кратное и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с уже рассмотренными.

Т. е., корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Все n значений корней имеют один и тот же модуль , а аргументы отличаются на одну и ту же величину . Следовательно, на комплексной плоскости Z точки, соответствующие значениям являются вершинами правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример. Найти все значения .

Решение. Для Т. е.

,

(Рис. 3)

1.4. Применение формул Эйлера и Муавра

Если в формуле Эйлера (1.2) заменить на , то Складывая эти равенства, получим: Вычитая, будем иметь:

иметь: .

Этими формулами пользуются для выражения степеней и и их произведений через синус и косинус кратных дуг.

Рис. 3

Пример.

Пример.

Рассмотрим теперь формулу Муавра. Если положить в ней , то получится:

Эта формула используется для выражения синуса и косинуса кратных дуг через степени синуса и косинуса.

Пример. При получим: Возведя левую часть в куб, имеем:

Используя определение равенства двух комплексных чисел, находим:

1.5. Многочлены в комплексной области

Определение. Многочленом или целой рациональной функцией от x называется функция , где n - целое положительное число. Коэффициенты действительные или комплексные числа.

Независимая переменная x может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение переменной , при котором многочлен обращается в нуль: .

Для многочлена имеет место

Теорема Безу. При делении многочлена на разность получается остаток, равный .

Доказательство. При делении многочлена на частным будет многочлен , степень которого будет на единицу ниже степени . Остатком будет являться постоянное число R. То есть можно записать: Это равенство справедливо при всех , так как деление на при не имеет смысла. Перейдем к пределу в этом равенстве при . Предел левой части равен , а предел правой равен R. То есть

Следствие. Если - корень многочлена , то есть , то делится без остатка на и, следовательно, представляется в виде произведения , где - многочлен степени на единицу ниже степени .

Пример. Многочлен при обратится в нуль . Поэтому он делится без остатка на :

То есть представляется в виде произведения: Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корни? Ответ на него дает

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен n-ой степени (целая рациональная функция) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Пользуясь основной теоремой алгебры, легко доказать следующее.

Следствие. Всякий многочлен n-ой степени разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Доказательство. Пусть дан многочлен степени n: В силу основной теоремы алгебры этот многочлен имеет по крайне мере один корень, действительный или комплексный, который обозначим через . На основании следствия из теоремы Безу делится на , без остатка и можно записать: , где - многочлен - ой степени. Многочлен по основной теореме алгебры также имеет корень, который обозначим через . По следствию из теоремы Безу, , где - многочлен - ой степени. Аналогично . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где - многочлен нулевой степени, то есть некоторое действительное число. На основании полученных равенств можно записать: . С учетом выражения для получим, что равняется коэффициенту при , то есть . Поэтому окончательно имеем: