Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора в виде хорошо известной формулы U = IR закона Ома обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряжения U на резисторе, его сопротивлением R и протекающим через него током силой I, но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Отметим попутно, что в рассматриваемой ММ сопротивление R резистора выступает в роли его внутреннего параметра, тогда как если задано U, то I будет выходным параметром, a U — внешним параметром, и наоборот.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор

y y1, y2 K yn Т Rn

Пусть yiM , yip — найденное при помощи ММ и реальное значения i-го

выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна

В качестве скалярной оценки вектора

1, 2 K n Т Rn

можно принять какую-либо его норму, например

Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, то е, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов х иg.

11

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Адекватность ММ— это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения . Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор хном, из условия минимума путей решения задачи конечномерной оптимизации найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор gном и обеспечивающие минимальное значение min относительной погрешности ММ. Тогда при

фиксированном векторе gном можно построить множество

X x Rk : Rk

называемое областью адекватности данной ММ. Ясно, что x приmin , а чем больше заданное значение min , тем шире область адекватности

ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО.

В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание поведения изучаемых объектов или их систем.

Экономичность ММ оценивают затратами на вычисли тельные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требования экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность на стадии отладки алгоритма или ЭВМпрограммы (см. 1.2 и рис. 1.1), если упрощение ММ не согласовано с

расчетной схемой ТО.

12

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Робастностъ ММ (от английского слова robust — крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точностью или входящих в слишком приближенные соотношения.

Продуктивность ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными.

Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.

В дальнейшем на конкретных примерах будут проиллюстрированы отмеченные выше свойства ММ (см. 3 и 6).

1.3.Классификация математических моделей

Модели можно классифицировать разными способами, каждая з которых служит определенной целью. Например, могут быть использованы следующий классификации модели на :

-статические и динамические;

-дискретные и непрерывные;

-физические, аналоговые, символические;

-детерминированные и стохастические.

Удобнее представлять классификацию модели в виде непрерывного спектра, простирающегося от точных моделей до абстрактных математических. Так, например,

13

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рис. 1.3. Классификация по характеру модели.

На рис.1.3 произведена квалификация за основу которой принят характер модели.

Взависимости от способа получения модели делятся на теоретические и эмпирические (формальные).

Теоретические модели получают на основе изучения свойств исследуемого объекта и процессов, происходящих в нем. Теоретическая модель описывает физические закономерности, наблюдаемые на объекте-оригинале.

Воснову таких моделей могут быть положены:

1.Фундаментальные законы природызаконы сохранения массы, энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда и т.д. 2.Феноменологические законы (описанные, выведенные на основе наблюдений, опытов, не разъясняющие физической сущности явлений, имеющих ограниченную область действия). К ним относятся законы Ома, Ампера, законы Ньютона (при скоростях движения тел много меньше скорости света), закон Гука, выражающий связь между силы упругости и упругой деформации тела (при малых деформациях), закон теплопроводности Фурье, связывающий градиент температуры в среде с плотностью теплового потока (для изотропных сред) и т.д.

Структура и параметры теоретических моделей имеет определенное физическое толкование.

Эмпирические модели применяются в следующих случаях.

1.Когда отсутствует информация о физических свойствах изучаемого объекта и о механизме протекающих в нем процессах.

2.Когда исследуемый технический объект настолько сложен что не представляется возможным математически адекватно описать сущность его внутренних процессов.

Эмпирические модели получаются экспериментальным путем. Моделируемый объект рассматривается как черный ящик. Для измерения доступны только его входные сигналы (управляющее воздействия) и выходные сигналы (отклики или реакции). Абстрагируясь от внутреннего устройства и физической сущности объекта, изучают его реакции на различные внешние воздействия.

Различают активный эксперимент над объектом, когда на его вход подается специально сформированные воздействия – тестовые сигналы, и пассивный эксперимент – регистрация входных и выходных сигналов объекта в режиме нормальной эксплуатации. Обработка результатов измерений входных и выходных сигналов объектов позволяет выявить связь между ними и определить математическую модель, адекватно описывающую эту связь. Однако построенная эмпирическая модель может считаться адекватной только в ограниченной области – в приделах заданного диапазона значений управляющих воздействий.

15

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts