Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Cуммой матриц С и D одинакового размера [ m n ] является матрица A того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц C и D:

	A C D,			aij cij	dij .
Пример 1.1.
4	1 8	1	7	9	3 8	17
					11 3	.
8	6 0	3	3	1	11 3	1

Произведением матрицы А на число является матрица,

каждый элемент которой равен произведению на aij :

aij aij .

Пример 1.2.	4		5	6	8 10	12
Пример 1.2.	2					2	.
		7	8	1	14 16	2

Операция перемножения матриц возможна (корректна), если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матриц C cij и D dij называется матрица A, элементы которой aij равны сумме произведений

элементов i -й строки матрицы C на элементы j-гo столбца

матрицы D : aij ci1d1 j ai2 d2 j ... cin dnj cik dkj , причем k 1

операция умножения матриц не коммутативна, т. е. CD DC .

Пример 1.3.	2		2	0		1 2

		4	1		3	1 0

2 0 ( 2) 3				2 ( 1) ( 2) 1	2 2 ( 2) 0	6		4	4
										.
	4	0	( 1) 3	4 ( 1) ( 1) 1	4 2 ( 1) 0		3	5	8
	4	0	( 1) 3	4 ( 1) ( 1) 1	4 2 ( 1) 0		3	5	8
				5

Пример 1.4. Найти значение многочлена

													2			1			6
	p(x) A		2	6A 7E , где
	p(x) A			6A 7E , где									A	5		1			4		.
														3		0		2
														3		0		2
															2			1			6		2		1	6
	Решение. Найдем							A		2			A A
	Решение. Найдем							A					A A			5		1			4			5	1	4
																3 0					2			3	0 2
																3 0					2			3	0 2
2 2 ( 1) 5 6 3							2 ( 1) ( 1) 1 6 0												2 6 ( 1) 4 6 ( 2)

	5 2 1 5 4 3							5 ( 1) 1 1 4 0												5 6 1 4 4 ( 2)
	3 2	0 5 ( 2) 3					3 ( 1) 0 1 ( 2) 0 3
	3 2	0 5 ( 2) 3					3 ( 1) 0 1 ( 2) 0 3													6 0 4 ( 2) ( 2)
17		3	4

	27	4		26	.
	0	3		22
	0	3		22
	Вычислим
							2					1	6			7 0					0
	6A 7E
	6A 7E				( 6)			5 1					4				0 7				0
								3 0					2				0 0				7
								3 0					2				0 0				7
	( 6) 2 7					( 6) ( 1)								( 6) 6								6			6 36

		( 6) 5				( 6) 0 7								( 6) 4									30		7 24 .
		( 6) 3				( 6) 0							( 6) ( 2) 7										18		0 19
		( 6) 3				( 6) 0							( 6) ( 2) 7										18		0 19
Тогда значение матричного многочлена:
									17				3 4				6				6 36
		A2 6			A 7Е
		A2 6			A 7Е						27		4 26		+			30			7 24				=
											0		3 22					18			0 19
											0		3 22					18			0 19
												11	3	40
												3
												3	3		2		.
											181 3				41
											181 3				41
													6

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы размера [ n n ] является число , называемое определителем

или детерминантом n-го порядка.

Рассмотрим матрицу размером [ 2 2 ]	a	a
Рассмотрим матрицу размером [ 2 2 ]	А = 11	12	.
		a22
	a21	a22

Для нее определитель второго порядка						вычисляется по
формуле
		a12
det A = =	a11		= a a		22	a a	21	.
	a21	a22		11		12

Введем понятия минор и алгебраическое дополнение
элементов определителя. Минором				M ij	элемента				aij опреде-
лителя n-го порядка называется				определитель					(n 1) -го

порядка, получаемый из исходного определителя n-го порядка вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя aij называется число, равное минору этого

элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца элемента четная и со знаком (-) — в противном

случае, т. е.	A ( 1)i j		M		ij	.
	ij				ij
				3		6	; A	8	6	;	A	8	6	.
Пример 1.5.		8
		8
		2		1		- 4
							22	-1	7		32	2	- 4
		-1		5		7		-1	7			2	- 4
		-1		5		7

Для вычисления определителя любого порядка суще-

ствует метод разложения определителя по какой-либо строке или столбцу, а именно: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Для определителя третьего порядка имеем

a11 a12

a13

a22

a23

– a

a21

a23

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

a31 a32

a33

Здесь определитель разложен по первой строке. Определитель можно вычислить, раскладывая его по любой строке или столбцу. Если же в какой-либо строке (столбце) определителя имеются нули, то разложение удобнее вести именно по этой строке (столбцу).

1 2 3

Пример 1.6. Вычислить 6 1 4 . 3 5 0

Решение. Так как в третьей строке определителя стоит ноль, то удобнее вычислить определитель разложением по третьей строке

1	2	3	= 3	2	3	5	1 3		0	1 2		=
1	2	3
6	1	4
3	5	0		1	4		6	4		6	1
3	5	0

= 3(8 – 3) – 5(4 – 18) + 0(1 – 12) = 15 + 70 = 85.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее

определитель отличен от нуля. Для квадратной невырож-

		a	a	... a
		11	12	1n
денной матрицы	A	a21 a22		... a2n	может быть определена
денной матрицы	A				может быть определена
		... ... ... ...

		an1 an2		... ann

обратная матрица A 1 :

		A	A	... A	Т
		11	12	1n
A 1	1	A21 A22		... A2n
						,
		... ... ... ...				,
		... ... ... ...

		An1	An 2
		An1	An 2	... Ann

где Aij — алгебраические дополнения матрицы A.

Обратная				матрица		удовлетворяет
A 1 A A A 1 E .
Пример		1.7.		Вычислить		обратную матрицу
	1		3	7
матрицы А			1
матрицы А		4	1	2	.
		5	0	6
		5	0	6

Решение. Вычислим определитель матрицы

условию

А 1 для

						1	3	7
						4	1	2	1 6 3 14 7 5 13 0.
						5	0	6
Найдем алгебраические дополнения матрицы:
	1		2								4	2					4		1		5;
А	1		2		6;		А				4	2		14;	А		4		1		5;
11	0		6				12				5	6			13		5		0
	0		6								5	6					5		0
			7							7								1	3	15;
А		3	7		18;		А		1	7		29;			А			1	3	15;
21		0	6				22		5	6					23			5	0
		0	6						5	6								5	0
			7							1		7				1	3
А	3		7	13;			А			1		7	26;		А	1	3		13.
31	1		2				32			4		2			33	4	1
	1		2							4		2				4	1

Источник: https://studfile.net/preview/16565639/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)