Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А
l11y1
l12 y2 l1r yr l1,r 1 yr 1 l1n yn c1, l22 y2 l2r yr l2,r 1 yr 1 l2n yn c2 ,
......................................................
lrr yr lr,r 1 yr 1 lrn yn cr ,
0 |
cr 1, |
0 |
cr 2 , |
0 |
cm, |
где y1, y2 ,...yn — это неизвестные x1 , x2 ,...xn , которые
переставлены определенным образом. Их перестановка определяется перестановкой столбцов, если это действие было необходимо делать по ходу вычислений.
Последние (m-r) уравнений следует понимать как
0 y1 0 y2 0 yn cr 1 ,
0 y1 0 y2 0 yn cr 2 ,
.. 0 y1 0 y2 0 yn cm .
Если хоть одно из сr 1 ,...cm 0 , то система уравнений не имеет решений (не совместна).
Для всякой совместной системы сr 1 ,...cm 0 . Тогда эти выражения можно опустить. Перенеся все члены, содержащие yr 1 ,...yn в правую часть, имеем
l |
y l y |
|
l |
y |
|
с l |
y |
|
l |
y |
|
, |
|
|
11 |
1 12 |
2 |
1r |
|
r |
1 1,r 1 |
|
r 1 |
1n |
|
n |
|
|
|
l22 y2 l2r yr |
c2 l2,r 1 yr 1 l2n yn , |
||||||||||
|
|
|
|
lrr yr cr lr ,r 1 yr 1 lrn yn , |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
где ( yr 1 ,...yn ) — свободные переменные, которым можно придавать произвольные значения. Неизвестные y1,..., yn опре-
15
деляются однозначно. Из последнего уравнения находим yr , далее подставляем в предпоследнее, находим yr 1 и т. д.
Пример 1.9. Решить систему уравнений
x 3y z 4;2x 5y 3z 9;
6x y 2z 2.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
1 |
- 3 |
1 |
- 4 |
|
|
A / B = |
2 |
5 |
- 3 |
9 |
. С помощью эквивалентных преоб- |
|
- 6 |
1 |
2 |
- 2 |
|
|
|
||||
разований приведем матрицу к такому виду, чтобы под главной диагональю стояли все нули, что называется прямым ходом метода Гаусса.
Умножим каждый элемент 1-й строки на (-2) и прибавим ко второй строке. Умножим каждый элемент 1-й строки на (6)
1 |
- 3 |
1 |
|
- 4 |
|
|||
и прибавим к третьей строке. Получим |
0 |
11 |
- 5 |
|
17 |
. |
||
|
0 |
-17 |
8 |
|
- 26 |
|
||
|
|
|
||||||
Умножим каждый элемент 2-й строки на |
17 |
|
и сложим |
|||||
|
11 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
с соответствующими элементами 3-й строки
16
Полученную матрицу снова запишем в виде системы
|
|
|
|
|
|
|
x 3y z |
4, |
|||||
|
11y 5z |
17, |
||||
|
||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
z |
|
. |
||
|
|
|
||||
|
11 |
11 |
||||
Откуда обратным ходом вычисляем единственное решение z = 1; y = 2; x = 1.
Пример 1.10. Решить систему уравнений
x 3y 4z 3;2x y 15z 1;
4x 9 y 19z 9.
Решение. Составим расширенную матрицу системы
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
3 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A / B = |
- 2 1 |
-15 |
|
1 |
~ |
0 7 |
- 7 |
|
7 |
~ |
|||||||
|
|
|
4 |
9 |
19 |
|
9 |
|
|
0 - 3 |
3 |
|
- 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
3 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
7 |
- 7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3y 4z 3 |
|
x 3y 4z 3 |
|
||
Тогда |
|
, |
|
, |
где z — |
|
7 y - 7z 7 |
|
|
y z 1 |
|
свободная переменная, z = t. Множество решений описывается следующим образом: x = -7t, y = t+1, z = t.
17
Пример 1.11. Решить систему уравнений:
y 5x z 6,
- 7 - 6z -4,
Тогда т. е. система несовместна.
0 41
Решений нет.
Пример 1.12. Решить систему уравнений
2x1 2x2 3x3 x4 x5 4;4x1 x2 x3 x4 2x5 5;3x1 4x2 2x3 x4 x5 8;2x1 x2 4x4 3x5 1.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
18
|
2 |
2 |
3 |
1 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
4 |
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A / B = |
3 |
4 |
2 |
1 |
1 |
|
8 |
|
~ |
Поменяем |
местами |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
4 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
первый и четвертый столбцы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
4 |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
~ |
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
|
|
8 |
|
~ |
|
|
Умножим |
каждый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
элемент |
первой |
строки |
на |
|
(-1), |
|
1, |
(-4) и |
сложим |
||||||
с соответствующими элементами второй, третьей и четвертой строк.
19