Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Составим обратную матрицу

				6			14	5 Т		6		18	13
А 1			1		18		29		1		14	29
								15					26
			13					15	13				26
			13		13		26		13		5	15
					13		26	13			5	15	13
			6			18
							1
		13				13	1
		13				13
		14				29
							2 .
		13				13	2 .
		5			15
							1
					13		1
	13				13

Рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений.

Система, имеющая m линейных уравнений с n неиз-

вестными x1, x2 , ..., xn , называется

системой линейных

алгебраических уравнений:

a11 x1

a12 x2

... a1n xn

b1 ,

a22 x2

... a2n xn

b2 ,

a21 x1

...........................................,

... a

Коэффициенты

при неизвестных (переменных) aij

и свободные члены

уравнений

b j

представляют собой

произвольные числа (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Если все свободные члены равны нулю, система уравнений называется

однородной, в противном случае — неоднородной.

Набор n чисел x1 1, x2 2 , ..., xn n , при подстановке

которых в систему каждое уравнение данной системы превращается в равенство, называется решением системы уравнений.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если не имеет решений, то несовме-

стной.

Однородные системы уравнений всегда имеют нулевое

(тривиальное) решение.

Систему уравнений можно записать в матричном виде

АХ = В, если ввести матрицу системы А:

a		a	... a		x1
	11	12	1n
a21		a22 ... a2n		, матрицу-столбец неизвестных	x2
А =	... ... ... ...			, матрицу-столбец неизвестных	Х =
	... ... ... ...


am1		am2 ... amn			xn

иматрицу-столбец свободных членов B= b2 .

Если матрица системы не вырождена, то систему можно решить в матричной форме, умножив обе части матричного

уравнения		слева	на		A 1		(обратную				матрицу). Тогда
X A 1B.
Пример 1.8. Решить матричное уравнение:
2		1	0		2		1	7	2		1	0

	2	2	3	X		1	3	2		2	3	6	.
	0	1	2			5	1	2		4	1	5
	0	1	2			5	1	2		4	1	5

Решение. Преобразуем матричное уравнение к приведенному виду

2 1					0			2			1 0		2 1				7

		2	2		3		X		2		3 6			1	3		2	, или
		0 1							4		1 5			5 1
		0 1			2				4		1 5			5 1			2
2 1					0			0			0 7

		2 2			3		X		3		0 4		.
		0 1							1 0 7
		0 1			2				1 0 7
Найдем						обратную					матрицу						A 1	для			матрицы
2			1		0

A	2		2		3	. Вычислим определитель матрицы A .
	0		1 2
	0		1 2
					1		0			2	3					2	3		2	2
				2				2				1						0
				2

				2	2 3						2						2
										1	2					0	2		0	1
				0	1	2

2 2 ( 2) 1 3 1 2 ( 2) 0 3 2 ( 7) 4 10 .

Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

A	1 1	2				3	7; A			( 1)			1 2			2	3				4;
A	( 1)						7; A			( 1)											4;
11		1				- 2	12									0	- 2
		1				- 2										0	- 2
A	1 3					2	2; A		( 1)			2 1		1	0			2;
	1 3		2			2						2 1		1	0
	( 1)
13			0			1	21							1 - 2
			0			1								1 - 2
	( 1)2 2					0					( 1)2 3							2		1
A	( 1)2 2				2	0		4; A			( 1)2 3							2		1	2;
22					0	- 2			23									0		1
					0	- 2												0		1
	( 1)3 1					0			( 1)3 2							0
A	( 1)3 1		1			0	3; A		( 1)3 2						2	0			6;
31			2			3	32								2	3
			2			3									2	3
	( 1)3 3					1
A	( 1)3 3			2		1	2 .
33				2		2
				2		2
							12

Тогда обратная матрица A 1 :

												7							1
					7	4			2 Т						10				5
					7	4			2 Т						10				5
		1		1													2		2
	A	1			2	4			2
	A			10	2	4			2						5				5
				10		6									5				5
									2							1			1
					3				2							1			1

															5				5
															5				5
Тогда решение матричного уравнения
							7			1					3
	0 0				7													0

							10			5		10
						=		2	2				3
X	A 1		3 0		4			2	2				3						3
X	A 1		3 0		4														3
			1 0		7			5	5			5							1
			1 0		7			1	1						1				1

								5	5						5
								5	5						5
						3			0
							10		0		11
							10
							3		0		43			.
									0					.
							5				5
							4		0		4

							5				5
							5				5

3 .

0 7

0 4 =

0 7

Большой популярностью пользуется метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Дополним матрицу системы столбцом свободных членов и получим расширенную матрицу системы A / B :

	a	a	...	a	b
	a	a	...	a	b
	11	12		1n	1
A / B	a21	a22	...	a2n	b2	.
A / B					...	.

	... ... ... ...

	am1	am2	...	amn	bm

С помощью элементарных преобразований расширенной матрицы необходимо привести ее к виду

l		*
l		*
	11
	l22		*
	0		.

		lrr

	0		*

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка местами строк или столбцов;

2)умножение каждого элемента какой-либо строки на вещественное число и прибавление к соответствующему элементу другой какой-либо строки.

1. Если a11 0 , то, прибавляя поочередно ко 2-й, 3-й и т. д. строкам первую строку, умноженную предварительно на

		a	21		a	31
			21	,		31	и т. д., получаем все нулевые элементы ниже
				,			и т. д., получаем все нулевые элементы ниже
					a11
		a11			a11
a		в первом столбце ( a						0 ,	a	0 и т. д.).
	11						21		31

2. Используя вторую строку пересчитанной матрицы для аналогичных преобразований, получаем во втором столбце все нулевые элементы ниже диагонального элемента. Имеем

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m

3. Продолжая преобразования, получаем матрицу, соответствующую системе линейных уравнений:

Источник: https://studfile.net/preview/16565639/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m

a		a	a	...	b
	11	12	13		1
	0	a	a	...	b
		22	23		2
	0	0	a	...	b
			33		3
			a		b	.
	0	0	a	...	b
			43		4
...		...	...	...	...
	0	0	a	...	b
			m3		m