Материал: Методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы № 3 по физике для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

(3)

Легко, убедиться, что к такому же результату придем, предполо­жив, что АВ есть расстояние между соседними светлыми полосами. Теперь из формулы (1) с учетом результата (3) найдем

 = ₀N/2l = 510^-4 рад = 140.

Пример 4. Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы (n₁ = 1,52) соприкасается со стеклянной пластинкой (n₂ = 1,7). Пространство между линзой, радиус кри­визны которой R = 1 м, и пластинкой заполнено жидкостью. Наблю- дая кольца Ньютона в отраженном свете (λ₀ = 0,589 мкм), измерили радиус r_k десятого тем­ного кольца. Определить показатель преломления жид­кости n_ж в двух случаях:

1) r_k = 2,05 мм, 2) r_k = 1,9 мм.

Решение

Предположим, что показатель преломления жидкости n_ж удовлет­воряет одному из двух неравенств:

n_ж < n₁< n₂; n₁ < п₂ < n_ж. (1)

Тогда для темных колец будет верна формула

.

Так как , получим n_ж = kR₀ /r_k².

Выполнив вычисления, найдем:

1) n_ж1 = 1,41; 2) n_ж2 = 1,63.

Теперь пусть

n₁ < n_ж < n₂. (2)

В этом случае для темных колец верна формула

.

Тогда Выполнив вычисления, получим: 1) n_ж1 = 1,34; 2) n_{ж 2} = 1,55.

Сравнив результаты вычислений для обоих случаев (очевидно, соответствующих двум разным жидкостям), видим, что в первом случае (n_ж1 = 1,41; n_ж1 = 1,34) значения по­казателя преломления жидкости удовлетворяют одному из неравенств (1), но не удовлетворяют неравенству (2). Следовательно, для первой жидкости n_ж1 = 1,41. Во втором случае (n_ж2 = 1,63; n_ж2 = 1,55) выполняется только неравен- ство (2). Следовательно, для второй жидкости n_ж2 = 1,55.

Пример 5. На щель шириной а=0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ=500 нм. Дифрак- ционная картина проецируется на экран, параллельный плоскости щели, с помощью линзы, расположенной вблизи щели. Определить расстоя- ние L от экрана Э до линзы, если расстояние l между первыми дифракционными минимумами, расположен- ными по обе стороны центрального максимума, равно 1 см.

Решение

Условие дифракционных минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально

(1)

где по условию задачи, m = 1.

Из рисунка следует, что l =2Ltgφ, но так как l/2 << L, то tg φ = sin φ, откуда φ = l/2L.

Подставив это значение в формулу (1), получим искомое расстояние от экрана до линзы:

(2)

Вычисляя, найдём L = 1м.

Пример 6. На дифракционную решетку нормально пада- ет параллельный пучок лучей с длиной волны λ=0,5 мкм. На экра­не, параллельном дифракционной решетке и отстоящем от нее на расстоянии L=1 м, получается дифракционная картина. Расстояние между максимумами первого порядка, наблюдае­мыми на экране, оказалось равным l =20,2 см. Определить: а) постоянную дифракционной решетки d; б) число штрихов на 1 см; в) сколько максимумов дает при этом дифракционная решетка? г) максимальный угол отклонения лучей, соответ- ствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение

а) Постоянная дифракционной решетки d, длина волны λ и угол отклонения лучей φ, соответ­ствующий k-тому дифракционному максимуму, связаны соотно­шением

d sinφ = kλ, (1)

где k — порядок спектра. В данном случае k = 1, а

Указанное приближенное равенство имеет место, поскольку

Тогда соотношение (1) принимает вид

отсюда

б) Число делений на 1 см найдем из формулы

.

в) Для определения числа максимумов, даваемых дифрак­ционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение k, которое определяется из условия, что максималь- ный угол от­клонения лучей дифракционной решеткой не может превы­шать 90°. Из формулы (1)

(2)

найдем искомое значение k_mах. Подставляя sin = 1, получим k_max = 9,9.

Но так как k обязательно должно быть целым числом, то, следовательно, k_max = 9 (k не может принять значение, равное 10, так как при этом sin φ > 1).

Подсчитываем число максимумов, даваемых дифракции- онной решеткой: влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться одинаковое число максимумов, равное k_max, т.е. всего 2 k_max. Учитывая центральный (нулевой) макси- мум, полу­чим общее число максимумов

M = 2 k_max + 1= 19 максимумов.

г) Максимальный угол отклонения лучей, соответствую- щих последнему дифракционному максимуму, найдем, подставляя в формулу дифракционной решетки значение k = k_max

откуда находим искомое значение угла φ = 65°22'.

Пример 7. Определить длину волны монохроматиче- ского све­та, падающего нормально на дифракционную решёт- ку с периодом d=2,20 мкм, если угол между максимумами первого и второго порядков спектра Δφ = 15°.

Решение

Пусть φ₁ и φ₂ - углы дифракции, соответствующие максимумам первого (k = 1) и второго (k = 2) порядков. По уcловию

φ₂ - φ₁ = Δφ. (1)

Из формулы дифракционной решетки следует

d sin φ₁ = λ, (2)

d sin φ₂ = 2 λ. (3)

Система уравнений (1), (2), (3) содержит три неизвест -ных: φ₁, φ₂, λ. Разделив почленно (2) на (3), получим

sin φ₂ = 2 sin φ₁, или, учи­тывая (1),

sin (φ₁ + Δφ) = 2 sin φ₁.

Решив это тригонометрическое уравнение относительно sin φ₁, найдем

(4)

Теперь из (2) с учетом (4) определим искомую величину:

мкм.

Пример 8. При каком минимальном числе штрихов дифрак­ционной решетки с периодом d = 2,9 мкм можно раз­решить компоненты дублета желтой линии натрия (λ₁= 5890 и λ₂ = 5896 )?

Решение

Число штрихов N решетки связано с ее разре­шающей силой R и порядком спектра k соотношением R = kN, от­куда следует:N = R/k. Минимальному значению N_мин соответст­вует минимальное значение R_мин и максимальное число k, т. е.

N_мин = R_мин /k_макс.

Минимальная разрешающая сила решетки R_мин, необходи- мая для разрешения дублета (двух составляющих) желтой линии нат­рия, выражается через величины λ₁ и λ₂ по формуле:

R_мин = ₁ / (₂ - ₁).

Число k_макс найдем из формулы дифракционной решетки, если положим в ней sin φ = 1 и λ = λ₂ (последнее соотношение га­рантирует, что обе компоненты дублета с порядковым номером k_макс будут видны). Учитывая при этом, что k — целое число, получим

Тогда

Пример 9. Пучок естествен­ного света падает на полиро­ванную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жид­кость. Отраженный от пластины пучок света образует угол φ=97° с падающим пучком. Определить показатель прелом­ле- ния n₁ жидкости, если отра­женный свет максимально поляризован.

Решение

Согласно за­кону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю пре­ломления

г де n₂₁ - показатель преломления вто­рой среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отно­шению абсолютных показателей преломле- ния. Следова­тельно,

Так как угол падения равен углу отражения, то i_В = φ/2 и, следовательно, tg( /2) = n₂/n₁, откуда

Пример 10. Два николя N₁ и N₂ расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет  = 60°. Определить, во сколько раз уменьшится интен­сивность I₀ естественного света: 1) при прохождении через один николь N₁; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в каждом николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Решение

1. Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсив­ности и полностью поляризованы.

∙ ∙ ∙

Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интен­сив- ность вследствие поглощения. Таким образом, интен­сивность света, прошедшего через первую призму,

I₁ = ½ I₀ (1-k).

Относительное уменьшение интенсивности света полу­чим, разделив интенсивность I₀ естественного света, падаю- щего на первый николь, на интенсивность I₁ поля­ризованного света:

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

2. Плоскополяризованный пучок света интенсивности I₁ падает на второй николь N₂ и также расщепляется на два пучка различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью погло­щается призмой, поэтому его интенсивность нас не интересует. Интенсивность I₂ необыкновенного пучка, вышедшего из призмы N₂, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе):

I₂ = I₁ cos²,

где  - угол между плоскостью колебаний в поляризо­ванном пучке и плоскостью пропускания николя N₂.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получаем

I₂ = I₁ (1-k) cos²,

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсив­ность I₀ естественного света на интенсивность I₂ света, прошедшего систему из двух николей: