Материал: Методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы № 3 по физике для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Решение

Используя формулы для энергии и импульса фотона, определяем длину волны и импульс падающего фотона. Так как по условию

= hc/ =m₀c²,

то

λ=h /m₀ c , P= h / = m₀ c.

В соответствии с формулой Комптона для данного случая

’ -  = _k (1 – cos180) = 2_k ,

откуда длина волны рассеянного фотона равна

’= 2_k + = 2h/ (m₀ c) + h/ (m₀ c) = 3h /(m₀ c).

Величина его импульса

P’= h/ ’ = m₀ c/ 3.

Для нахождения импульса электрона отдачи построим векторную диаграмму импульсов.

По закону сохранения импульса , или

P = -P’ + mυ.

Из полученного уравнения найдем

mυ= P + P’ = 4/3 m₀c.

Подставив числовые значения, получим

mυ= 3,64∙10^-22 кг м/с.

Пример 7. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_е=0,6 Вт. Определить:

1) силу давления F , испытываемую этой поверхностью;

2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Решение

1. Сила светового давления на поверхность равна произве- дению светового давления p на площадь S поверхности:

F = p·S. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

р = Е₀(ρ + 1)/ c, (2)

где, Е₀ – энергетическая освещённость; с – скорость света в вакууме; ρ - коэффициент отражения.

Подставляя правую часть уравнения (2) в формулу (1), получаем

F = Е₀ S(ρ + 1)/ c. (3)

Так как Е₀ S представляет собой поток излучения Ф_е, то

F = Ф_е (ρ + 1)/ c. (4)

Проведём вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности ρ=1 :

.

3.2. Примеры решения задач

Пример 1. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b= 2мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L=50 см, ширина центрального дифракционного максимума  x=0,36 мм.

Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны , соответ- ствующая частице массой m, движущейся со скоростью V, выражается формулой

= h/ mV . (1)

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифрак- ционного максимума равна расстоя- нию между дифракционными минимумами первого порядка. Дифракциионные минимумы при дифракции на одной щели наблюда- ются при условии

b sin= k  , (2)

где k = 1,2,3… - порядковый номер минимумов.

Для минимумов первого порядка (k=1), угол заведомо мал, поэтому sin =  , и, следовательно, формула (2) примет вид

b  =  , (3)

ширина центрального максимума

x= 2L tg  = 2L  . (4)

Выражая  из (4) и подставляя его в (3), получаем

 = b x/ 2L. (5)

Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):

V= h/m = 2 h L/ m b x. (6)

После вычисления по формуле (6) получим V= 10⁶ м/с.

Пример 2. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Решение

Связь длины волны де Бройля с импульсом

,

где h = 6,6310^-34Джс – постоянная Планка, причём импульс вычисляется различным образом для релятивистского ( ) и нерелятивистского ( ) случаев, где m, T, E₀ – соответственно масса, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряю- щую разность потенциалов U,

Т= e U = 0,7МэВ,

а энергия покоя электрона Е₀ = mc² = 0,5МэВ, т.е. в данном случае имеем дело с релятивистской частицей.

Тогда искомая длина волны де Бройля

где m = 9,1110^-31кг; c =310⁸м/c; е =1,610^-19Кл.

Вичисляя, получаем λ= 1,13пм.

Пример 3. Используя соотношения неопределенностей xp_x  h/2, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномер- ном потенциальном ящике шириной l.

2. Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов n₁, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т.е.потоку излучения: Ф_е= εn₁, а так как ε=hс/λ, то Ф_е = hс n₁ / λ, откуда

n₁= Ф_е λ / hс . (5)

Произведя вычисления, получим

n₁ = 2·10¹⁸ с^-1.

3. Элементы квантовой механики

3.1. Основные законы и формулы

1. Формула де Бройля

 = h/m^.V

2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

x^.p_x  ; E^.t  ,

где .

3. Уравнение Шредингера

- общий вид ;

- для стационарных состояний ,

где  - оператор Лапласа, E – полная энергия частицы,

U – потенциальная энергия частицы,  - волновая функция.

4. Вероятность обнаружить частицу в объеме dV

dp = ^{2 .} dV .

Условие нормировки волновой функции

.

5. Волновая функция, описывающая движение свободной частицы

 (x,t) = A ^. e ^{–i( E t – p x) /} .

6. Собственные значения энергии и собственные волновые функции для частицы, находящейся в одномерной прямо- угольной бесконечно глубокой потенциальной яме

,

где d – ширина потенциальной ямы.

7. Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциаль- ного барьера

где d – ширина барьера, E – энергия частицы.

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее опреде- ляется положение частицы, тем более неопределенным стано- вится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопре- деленность координаты электрона x=l/2. Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде

l /2 p h/2,

откуда

p  h/ l.

Физически разумная неопределенность импульса p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, т.е. p  p.

Энергия E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия T, величину которой можно связать с импульсом соотношением

T= p² / 2m .

Заменив p на p, получим

E_min= (h²/2 ²)/(m l²)= .

Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L /4, равноудаленном от стенок ямы.

Решение

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

(1)

где (x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

_n(x)= (2/L)^½ sin(n x/L).

Невозбужденному состоянию (n=1) отвечает волновая функция

₁(x)= (2/L)^½ sin( x/L). (2)

Подставив ₁(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим

(3) Согласно условию задачи x₁=3L/8 и x₂=5L/8. Произведя замену

sin²( x/L) = 1 /2 [1 – cos(2 x/L)] ,

получим

4. Физика атомов

4.1. Основные законы и формулы

1. Собственные значения энергии электрона в атоме водорода и водородоподобном ионе

где n = 1,2,3…- главное квантовое число; Z – порядковый номер элемента; h = 6.62∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка; R= 3,28∙10¹⁵с^-1 – постоянная Ридберга.

2. Орбитальный механический момент импульса L элек- трона и его проекция на заданное направление внешнего магнитного поля

, ,

где  = 0,1,2…(n-1) – орбитальное квантовое число;

где m = 0,1,2… - магнитное квантовое число;

3. Спиновый момент импульса электрона L_z и его проекция на заданное направление

, ^. ,

где s = - спиновое квантовое число.