Материал: Методические указания к решению задач по физике по теме «Электростатика» для студентов направлений «Машиностроение» и «Нефтегазовое дело». Агапитова Н.В., Деркачёва П.И

Дано:

Р ешение

З

Рис. 1.3

акон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределённый по длине стержня. Однако, если выделить на стержне малый участок , то находящийся на нём заряд можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами и :

, (1)

где - расстояние от выделенного элемента до заряда . Из чертежа (рис.1.3) следует, что и , где - расстояние от заряда до стержня. Подставив эти выражения и в формулу (1), получим

. (2)

Следует иметь в виду, что - вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: , перпендикулярную стержню, и , параллельную ему.

Из рисунка 1.3 видно, что

, .

Подставляя значение из выражения (2) в эти формулы, найдём:

; .

Интегрируя эти выражения в пределах от до + , получим

В силу симметрии расположения заряда относительно концов стержня интегрирование второго выражения даёт нуль:

Таким образом, сила, действующая на заряд :

(3)

Из рис. 1.3 следует, что .

Подставив это выражение в формулу (3), получим

. (4)

Произведём вычисления по формуле (4):

Ответ: мН.

Напряжённость

Задача 1.4. Кольцо из проволоки радиусом имеет отрицательный заряд . Найти напряжённости электрического поля на оси кольца в точках, расположенных от центра кольца на расстояниях , равных 0;5;8;10 и 15см. На

каком расстоянии от центра кольца напряжённость электрического поля будет иметь максимальное значение?

Дано:

при Еmax

Решение

В

Рис. 1.4

озьмём элемент кольца (рис.1.4). Этот элемент имеет заряд . Напряжённость электрического поля в точке А, созданная этим элементом,

,

где . Она направлена по линии , соединяющей элемент кольца с точкой А. Для нахождения напряжённости поля всего кольца надо векторно сложить от всех элементов. Вектор можно разложить на составляющие и . Составляющие каждых двух диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожаются, и тогда

,

где , следовательно,

.

Из рис. 1.4 следует, что .

Окончательно получим выражение для определения напряжённости электрического поля на оси кольца в виде:

(1)

Выражение (1) – напряжённость электрического поля на оси кольца.

Если >> , то , то есть на больших расстояниях заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд.

Подставляя в (1) числовые значения, получим напряжённости , равные 0; 1,60; 1,71; 1,60 и 1,15

Выразим величины и через угол : ; и формула (1) примет вид:

Для нахождения максимального значения напряжённости возьмём производную и приравняем её к нулю:

так как , то , . Тогда напряжённость электрического поля имеет максимальное значение в точке А, расположенной на расстоянии от центра кольца.

Ответ: ; ; ; ; ; при .

Задача 1.5. Заряд равномерно распределён по объёму шара радиусом из непроводящего материала с объёмной плотностью . Определить напряжённости поля в точках, расположенных на расстоянии от центра шара и . Построить график зависимости .

Дано:

Решение

Электрическое поле на расстоянии от центра шара создаётся только зарядами, находящимися внутри шара радиусом , так как заряженный внешний сферический слой внутри себя поля не создаёт. Заряд шара радиусом

, и на своей поверхности он создаёт поле напряжённостью

.

Если , то электрическое поле создаётся полным зарядом шара , поэтому

.

График зависимости показан на рис.1.5.

О

Рис.1.5

твет: , .

Потенциал

Задача 1.6. В вершинах квадрата со стороной 5см находятся одинаковые положительные заряды . Определить напряжённость и потенциал электрического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.

Дано:

1) , 2) ,