Материал: Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Математическое обеспечение САПР». Пак А.А

3. Метод наименьших квадратов

Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между y и x, в результате серии экспериментов произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значений

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость

(8)

значения которой при мало отличаются от опытных данных . Приближенная функциональная зависимость (8), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки , как в случае интерполяции. Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбор общего вида этой формулы и определения наилучших значений содержащихся в ней параметров.

В методе наименьших квадратов в качестве эмпирической функции выбран многочлен. Согласно этому методу за меру отклонения многочлена

(9)

от данной функции на множестве точек , , …, принимают величину

, (10)

равную сумме квадратов отклонений многочлена от функции на заданной системе точек.

Очевидно, что есть функция коэффициентов , , …, . Эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы величина была наименьшей. Полученный многочлен называется аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого многочлена – точечной квадратичной аппроксимацией или точечным квадратичным аппроксимированием функции.

Для решения задачи точечного квадратичного аппроксимирования воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные от величины

где по всем переменным , …, . Приравнивая эти частные производные к нулю, получим для определения неизвестных , …, систему m+1 уравнений с m+1 неизвестными:

(11)

Введем обозначения:

,

,

Преобразуя систему (11) и используя введенные обозначения, будем иметь:

(12)

где .

Можно доказать, что если среди точек , , …, нет совпадающих и , то определитель системы (12) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение , , …, . Многочлен (9) с такими коэффициентами будет обладать минимальным квадратичным отклонением .

Таким образом, аппроксимирование функций представляет собой более общий процесс, чем интерполирование.

Для составления системы (11) рекомендуется схема способа наименьших квадратов, приведенная в таблице 1, где принято m=2.

Таблица 1

Пример. Подобрать аппроксимирующий многочлен второй степени для данных

Решение. Вычисления, которые нам нужно произвести, расположим по схеме (для m=2, n=4), приведенной в таблице 1.

Для данного примера получаем таблицу 2 (вычисления проводятся с тремя десятичными знаками).

Таблица 2

Отсюда система для определения коэффициентов , , :

(13)

Решив систему (13), получим , , . Следовательно, искомый многочлен есть

(14)

Сравним исходные значения для с соответствующими значениями , полученными из приближенной формулы (14). Соответствующие результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3

Задание 3

Подобрать аппроксимирующий многочлен второй степени для функции из задания 2.