Курсовая работа (т): Методы экспертных оценок

x_i^(k) - ранг i-го объекта по k - му признаку;

x_i^(j) - ранг j-го объекта по k - му признаку;

(x_i^(k) - x_i^(j))² - квадрат разности рангов.

названный впоследствии ранговым коэффициентом корреляции Спирмэна. Прямым подсчетом нетрудно убедиться, что для совпадающих ранжировок (т.е. при x_i^(k) = x_i^(j) для всех i = l,2,...,n) τ_kj^(s) = 1 а для противоположных (т. е. при x_i^(k) = n - x_i^(j)+ 1, i = 1 , 2, . . . , n) - τ_kj^(s) = - 1.Можно показать, что во всех остальных случаях | τ_kj^(s) | < 1./4/

Формула (1) пригодна лишь в случае отсутствия объединенных рангов в обеих исследуемых ранжировках. Для ее распространения на общий случай определим для каждой (k-й) ранжировки X^(k) (k = 0,1,... ,р) величину/4/

 (2)

где m^(k) - число групп неразличимых рангов у переменной x^(k), а n_t^(k) - число элементов (рангов), входящих в t-ю группу неразличимых рангов (в частном случае отсутствия объединенных рангов имеем m^(k) = n, n₁^(k) = n₂^(k) =…= n_n^(k)=1 и соответственно T^(k) = 0; кроме того, группы неразличимых рангов, состоящие из единственного элемента, по существу, не участвуют в расчете величины T^(k))

Тогда ранговый коэффициент корреляции Спирмэна между ранжировками X^(k) и X^(j) следует вычислять по формуле

(3)

Если Т^(k) и Т^(j) являются небольшими относительно (1/6)*(n³ - n) величинами, то можно воспользоваться приближенным соотношением (а при Т^(k) = Т^(j) оно точное)

 (4)

Правда, при этом же условии (относительная малость Т^(k) + Т^(j) по сравнению с (1/6)*(n³ - n) и приближенная формула (1) дает хорошую точность.

Другой широко используемой характеристикой тесноты статистической связи между двумя упорядочениями является ранговый коэффициент корреляции Кендалла, определяемый соотношением

 (5)

где ν(Х^(k) ,X^(j)) - минимальное число обменов соседних элементов последовательности X^(j), необходимое для приведения ее к упорядочению Х^(k). Очевидно, величина ν(Х^(k) ,X^(j)) симметрична относительно своих аргументов, так что с равным правом можно говорить о минимальном числе «соседских обменов» элементов последовательности Х^(k), необходимом для приведения к виду X^(j)./4/

Из формулы (5) следует, что при совпадающих ранжировках Х^(k) и X^(j) τ^(K)_kj = 1 (так как ν(Х^(k) ,X^(j)) = 0), а при противоположных (т.е. при x_i^(k) = n-x_i^(j)+l, i= 1,2,..., n, так что ν(Х^(k) ,X^(j)) = (1/2)n(n-1)) - τ^(K)_kj = 1. Нетрудно показать, что во всех остальных случаях |τ^(K)_kj| < 1.

Вычисление τ^(K)_kj связано с необходимостью подсчета величины ν(Х^(k),X^(j))и, следовательно, является более трудоемким, чем вычисление τ^(S)_kj. Однако, во-первых, коэффициент Кендалла обладает некоторыми преимуществами по сравнению с коэффициентом Спирмэна, главные из них: а)относительно большая продвинутость в исследовании его статистических свойств и, в частности, его выборочного распределения (см. ниже); б)возможность его использования и в частной («очищенной») корреляции рангов; в) большие удобства его пересчета при добавлении к n статистически обследованным объектам новых, т.е. при удлинении анализируемых ранжировок: для вычисления нового значения рангового коэффициента корреляции приходится переранжировать значительную часть объектов, что в случае τ^(S)_kj означает необходимость пересчета разностей x_i^(k) - x_i^(j); при вычислении же τ^(K)_kj значения рангов не играют никакой роли, важно лишь число необходимых «соседских обменов», которое при добавлении новых объектов подсчитывается рекуррентным способом (к старому значению ν(Х^(k),X^(j))) может быть лишь дополнен некоторый «добавок»).

Во-вторых, можно воспользоваться рекомендациями, упрощающими подсчет числа ν(Х^(k),X^(j)) как при ручном, так и при машинном счете.

Так, при ручном счете полезным оказывается известный факт тождественного совпадения величин ν(Х^(k),X^(j)) и I(Х^(k),X^(j)), где число инверсий I(Х^(k),X^(j)) - это просто число расположенных в неодинаковом порядке пар элементов последовательностей Х^(k) и X^(j), являющееся естественной мерой нарушения порядка объектов в одной последовательности относительно другой. Для удобства подсчета I(Х^(k),X^(j)) перенумеруем объекты в порядке, определяемом рангами последовательности Х^(k). Тогда анализируемые ранжировки Х^(k), X^(j) соответствующим образом видоизменяются, т.е. преобразуются к виду соответственно Х^(k), X^(j), где X^(k) = (l,2,...,n)^T; X^(j) = (x₁^(j), x₂^(j),…, x_n^(j))^Т, а число инверсий I(Х^(k),X^(j)) = I(X^(k),X^(j)), а следовательно, и величина ν(Х^(k),X^(j)) определяется по формуле

 (6)

где

, если x_q^(j) > x_i^(j) (т.е. нарушен порядок последовательности X^(k));

ν_ql^(j,k) =0- в противоположном случае.

Легко подсчитать, что число инверсий I(Х^(k),X^(j)) может меняться от 0 (что соответствует случаю совпадающих ранжировок) до (1/2)n(n - 1) (что соответствует случаю противоположных ранжировок).

Формулы (5)-(6) пригодны для подсчета τ^(K)_kj лишь в случае отсутствия объединенных рангов в обеих исследуемых ранжировках. Соответствующее «подправленное» значение τ_kj^*(K) - при наличии объединенных рангов в анализируемых упорядочениях будет определяться соотношением

 (5΄)

в котором коэффициент τ^(K)_kj вычисляется по формуле (5)-(6), а «поправочные» величины U^(l) определяются соотношением

 (7)

(смысл величин m^(l) и n_t^(l), определен выше, см. (3)).

При решении основных задач А - С статистического анализа ранговых связей (возникает необходимость уметь измерить статистическую связь между несколькими (более чем двумя) переменными. С этой целью Кендаллом был предложен показатель Ŵ(m), названный коэффициентом конкордации (или согласованности), вычисляемый по формуле

 (8)

где m - число анализируемых порядковых переменных (сравниваемых упорядочений); n - число статистически обследованных объектов или длина ранжировки (объем выборки); k_1, k₂,…,k_m - номера отобранных для анализа порядковых переменных (из исходной совокупности x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x^(p)) , так что, очевидно, m ≤ р + 1).

Свойства коэффициента конкордации:

a) 0≤ Ŵ ≤1;

б) Ŵ = 1 тогда и только тогда, когда все m анализируемых упорядочений совпадают;

в) если m ≥ 3 и анализируемые ранжировки генерируются подобно случайному независимому m-кратному извлечению из множества всех n возможных упорядочений n объектов, то связи между ними нет и W = 0;

г) пусть τ^(S)(m) - среднее значение коэффициента Спирмэна, подсчитанное по значениям m(m- 1)/2 коэффициентов τ ^(S)k_ik_j. (i,j = 1, 2,..., m; i≠j), характеризующих ранговую связь между всеми возможными парами переменных (x^(ki), x^(kj)) из анализируемого набора (x^(k1), x^(k2),…, x^(km) ); тогда

 (9)

в частности, из (9) следует для случая m = 2, что

 (9΄)

т.е. коэффициент конкордации, исчисленный для двух переменных, пропорционален парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэна.

То, что шкала измерения W(m) не включает в себя отрицательных значений, объясняется следующим обстоятельством. В отличие от случая парных связей при анализе m(m ≥ 3) порядковых переменных противоположные понятия согласованности и несогласованности утрачивают прежнюю симметричность (относительно нуля); упорядочения, произведенные в соответствии с переменными x^(k1), x^(k2),…, x^(km), могут полностью совпадать, но не могут полностью не совпадать.

Формула (8) получена в предположении отсутствия объединенных рангов в каждом из анализируемых упорядочений. Если же таковые имеются, то формула должна быть модифицирована:

 (8΄)

где поправочный формуле (2коэффициент Т^(kj) (соответствующий переменной x^(kj) подсчитывается по)).

Для того чтобы определить, как ведут себя выборочные значения Ŵ(m) коэффициента конкордации при повторении выборок заданного объема n (из одной и той же генеральной совокупности) при отсутствии какой-либо связи между анализируемыми m переменными.

Предположим, что каждому объекту конечной генеральной совокупности (состоящей из N элементов) приписан какой-то определенный ранг по каждой из m рассматриваемых переменных. Так, например, если m = 3 и объекту О_i приписана тройка (x_i⁽¹⁾ = N, x_i⁽²⁾ = 1, x_i⁽³⁾ = 2), то это означает, что по переменной x_i⁽¹⁾ он стоит на последнем (N-м) месте в упорядоченном ряду всех объектов генеральной совокупности, по переменной x⁽²⁾ - на первом и по переменной x⁽³⁾ - на втором.

Тогда по исходным данным {(x_i⁽¹⁾, x_i ⁽²⁾,…, x_i^(m))}_1=1,N помощью формулы (8) может быть вычислен теоретический (генеральный) коэффициент конкордации W(m), характеризующий степень тесноты ранговой связи между переменными x⁽¹⁾, x ⁽²⁾,…, x^(m). Однако исследователю известны значения (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(m)) лишь для части объектов генеральной совокупности, а именно для случайной выборки объектов объема n(n < N). После естественной перенумерации рангов, сохраняющей правило упорядочения объектов, но переводящей масштаб измерения рангов в шкалу (1,2,...,n) (для этого минимальный из оказавшихся в выборке рангов по каждой переменной объявляется рангом, равным 1, следующий по величине - рангом, равным 2, и т.д.), может быть вычислен (по той же формуле (8)) выборочный коэффициент конкордации W(m). Извлекая другую выборку объема n из той же самой генеральной совокупности, мы получим, вообще говоря, другое значение выборочного коэффициента W(m) и т.д.

Как сильно могут отклоняться от нуля выборочные значения коэффициента конкордации Ŵ(m) в ситуации, когда значение теоретического коэффициента конкордации W(m) свидетельствует о полном отсутствии ранговой связи между анализируемыми переменными х⁽¹⁾,х⁽²⁾,...,х^(m)? Для малых значений m и n(2 ≤ m ≤ 20, 3 ≤ n ≤ 7) ответ на этот вопрос может быть получен с помощью таблицы значений величины S. Обозначенная в ней величина S есть не что иное, как

 (10)

«Входами» в эту таблицу является тройка чисел (m, n, S), «выходом» - вероятность того, что величина S может быть такой, какой она является в нашей выборке, или большей в условиях отсутствия связи переменных в генеральной совокупности. Если окажется, что эта вероятность меньше принятой нами величины уровня значимости критерия а (например, α = 0,05), то гипотезу об отсутствии связи следует отвергнуть, т.е. признать статистическую значимость анализируемой связи. Таблица критических значений W(m) построена несколько иначе. В ней при уровне значимости α = 0,05 и в соответствии с «входами» (m, n) даны «критические» значения величины S, т. е. такие значения, при превышении которых следует отвергать гипотезу об отсутствии связей (признавать их статистическую значимость).

При n > 7 для проверки статистической значимости анализируемой связи следует воспользоваться фактом приближенной (n-1)-распределенности величины m(n - 1)*W(m), справедливым в условиях отсутствия связи в генеральной совокупности. Поэтому, если окажется, что /4/

m(n-1)W(m)> (n-1)

то гипотеза об отсутствии ранговой связи между переменными зг , i ,...,х должна быть отвергнута (с уровнем значимости критерия, равным а); в (11.58) величина (n-1) - это 100а%-ная точка -распределения с (n-1)-й степенью свободы.

Строгих рекомендаций по построению доверительных интервалов для истинного значения W в условиях наличия ранговых связей в исследуемой генеральной совокупности к настоящему времени не имеется./4/

Преимущество коэффициента корреляции рангов состоит в том, что ранжировать можно и по таким признакам, которые нельзя выразить численно: можно проранжировать кандидатов на занятии определенной должности по профессиональному уровню. По умению руководить коллективом, по личному обаянию и т.п. при экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелированные с оценками других экспертов. Коэффициент корреляции рангов применяется для оценки устойчивости тенденции динамики. /5/

Недостатком коэффициент корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать совершенно отличные разности значений признаков (в случае количественных признаков). /5/

2.2    Примеры использования данных экспертных оценок

В данной главе рассмотрим примеры для прояснения работоспособности ранговых коэффициентов корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации.

Пример 1

По данным 10-ти предприятий сельскохозяйственной отрасли эксперту необходимо определить зависимость между балансовой прибылью и объемом реализованной продукции. В таблице 1 указаны исходные данные по предприятию.