Материал: Методы моделирования управленческих, экономических и бизнес-процессов. Амелин С.В., Щетинина И.В

где x_j^ср, Δх_j определяются по (10) и (11).

Составить таблицу для проведения эксперимента.

Таблица составлена для трех переменных х₁, x₂, х₃ и двух искомых функций, определяемых в результате эксперимента у₁, у₂.

5. Провести эксперименты по принятому плану.

6. для каждого сочетания значений х_j записать результат эксперимента для значений у₁, у₂:

Полученная таблица представляет собой исходные данные, необходимые для определения уравнения регрессии. Очевидно, что приведенная методика дает возможность составить план эксперимента для любого количества переменных и определяемых функцией.

Эксперименты с ответственными решениями, как правило, всегда являются довольно дорогими и более длительными, чем хотелось бы. Поэтому с реальными вариантами решений экспериментировать приходится очень редко.

Целесообразно экспериментировать с математическими и компьютерными моделями решений. При этом используется теория планирования экспериментов, которая базируется на принципах активного воздействия на объект управления с целью обеспечения определенных преимуществ при построении и использовании модели объекта.

Целью экспериментов с моделями решений может быть выбор наилучших вариантов при заданных затратах или минимизация затрат для выбора вариантов с заданными значениями характеристик.

Моделью для постановки и проведения экспериментов с решениями является рассмотренная выше схематическая модель объекта с управляемыми входными характеристики - Х и выходными характеристиками - Y на фоне ошибки :

Предполагается, что ошибки  являются случайными величинами в общем случае с неизвестным законом распределения. Если ошибки являются не случайными, а систематическими, например вызванные инструментом измерения, то такие ошибки превращаются в случайные искусственно путем специальных приемов перемешивания - рандомизации их.

Рассмотрим пример моделирования получения прибыли. Предположим, что имеется следующая ситуация. Нас интересует зависимость Y - прибыли небольшой туристической фирмы от двух факторов:

Х₁ - количества сотрудников в агентстве и Х₂ - уровня цен на туристские услуги.

Положим, что количество сотрудников меняется от 3 до 6 человек, уровень цен колеблется от 90% до 110% от средних цен, а диапазон изменения прибыли колеблется от 50% до 100% по отношению к затратам.

Планирование эксперимента предполагает активное воздействие на исходные данные для создания рациональных условий построения модели объекта и удобства использования ее на практике. Полагаем, что руководитель туристического агентства может менять характеристики объекта: количество сотрудников и средний уровень цен на предоставляемые услуги. Поэтому этот эксперимент можно организовать по активной схеме полного факторного эксперимента на двух уровнях. Для этого перейдем следующим образом от натуральных характеристик Х₁ и Х₂ к безразмерным характеристикам х₁ и х₂:

Этот переход осуществляется по соотношению:

х_i = (Х_i – Х_i0)/ΔХ_i,

где ΔХ интервал варьирования i характеристики. В нашем примере этот интервал, как видно из схемы, равен 1 сотруднику. За ноль на безразмерной оси взято значение на натуральной оси

Х_i0 = 4.

для второй характеристики имеем:

Здесь за ноль взят 100% уровень цен, а за интервал варьирования 10%. Теория планирования эксперимента говорит, что в новых осях х₁ и х₂ можно построить следующую модель объекта:

Y = f(х₁,х₂) = b₀ + b₁х₁ + b₂х₂ + b₁₂х₁х₂.

Коэффициенты модели b в данном случае определятся по следующей схеме активного воздействия на объект:

u	X0	X1/x1	X2/x2	X1X2
1	+	- / 3	- / 90	+
2	+	+ / 5	- / 90	-
3	+	- / 3	+ / 110	-
4	+	+ / 5	+ / 110	+

Таблица содержит столько столбцов, сколько надо определить коэффициентов в модели. Плюсы в таблице соответствуют 1, а минусы соответствуют -1 для безразмерных характеристик искомой модели. В знаменателе стоят соответствующие значения натуральных характеристик. Таблица состоит из столбцов, Х₁ и Х₂ составляющих план эксперимента, и столбцов, которые являются вспомогательными для расчетов соответствующих коэффициентов модели - Х₀ и Х₁Х₂.

Коэффициенты b_i определяются по соотношению:

b_i =1/4 _uх_iuу_u.

В соотношение входят усредненные результаты опытов - наблюдений над объектом:

у_u = 1/n (у₁ +у₂+…+у_n)

Предположим, что наши наблюдения над объектом туристическим агентством – по спланированной таким образом схеме дали следующие результаты: Y₁ и Y₂ :

Полученные данные позволяют рассчитать коэффициенты модели:

b₀ = 1/4 (105+92+120+110) = 106,75

b₁ = 1/4 (-105+92-120+110) = -5,75

b₂ = 1/4 (-105-92+120+110) = 8,25

b₁₂ = 1/4 (+105-92-120+110) = 0,75

Модель зависимости прибыли от числа сотрудников туристического агентства и уровня цен на услуги имеет вид:

Y = 106,75 – 5,75х₁ + 8,25х₂ + 0,75х₁х₂.

Схема эксперимента позволяет следующим образом трактовать полученную модель.

Для нулевых значений характеристик, то есть для числа сотрудников 4 и 100% уровня цен на услуги прибыль равна 106,75%.

При 3 сотрудниках и 90% уровне цен, то есть при х₁ =-1 и х₂= -1 прибыль равна Y = 106,75+5,75-8,25+0,75 = 105.

При 5 сотрудниках и 90% уровне цен (х₁ = 1, х₂ = -1) прибыль равна

У= 106,75-5,75-8,25-0,75=92.

При 3 сотрудниках и 110% уровне цен (х₁ = -1, х₂=1) прибыль равна

У = 106,75 + 5,75х₁ + 8,25х₂ - 0,75х₁х₂ = 120.

Мы видим, что эксперименты с моделью объекта по определенной схеме показывают, что наилучшим вариантом решения реальной задачи по получению наибольшей прибыли будет сочетание наименьшего числа сотрудников и наибольшего уровня цен.

Полученная модель позволяет также решить и вторую задачу и сказать, что наибольшее влияние оказывает уровень цен (коэффициент b₂= 8,25), эффект числа сотрудников меньше, так как коэффициент b₁ = -5,75. Взаимодействие числа сотрудников и уровня цен характеризуется коэффициентом b₁₂= 0,75. Его величина самая маленькая, то есть эффект взаимодействия незначителен. Для подобных выводов требуется найти ошибку эксперимента и ее влияние на величину коэффициентов. Мы оставляем этот вопрос для любознательного читателя.

Полученная модель также пригодна для нахождения сочетания значений характеристик, дающего максимум прибыли. Мы рассмотрим решение этой задачи в главе Подобные эксперименты с моделями объекта вполне доступны любому ЛПР в любой организации.

Активный эксперимент предоставляют ЛПР определенные преимущества перед обычной схемой эксперимента и его коротко можно сформулировать следующим образом:

• простой способ построения модели,

• незначительные затраты на проведение эксперимента,

• наглядная интерпретация результатов эксперимента по построенной модели,

• возможность выделения наиболее значимых характеристик,

• возможность определения оптимальных значений характеристик.

3.4. Динамическое моделирование управленческих, экономических и бизнес-процессов

Непрерывный подход к построению имитационных моделей производственных и социальных объектов был разработан Дж. Форрестером (США) и получил широкое распространение. Согласно данной методики моделирования объект-оригинал, независимо от реально наблюдаемого характера его функционирования, формализуется в виде непрерывной абстрактной системы, между элементами которой циркулируют непрерывные «потоки» различной природы. Структура такой модели представляется графически в виде диаграммы (схемы) потоков. Различают следующие типы непрерывных потоков: потоки информации, материалов, заказов, денежных средств, средств производства, людей и т.п. Основными элементами такой непрерывной модели являются абстрактные «накопители» (уровни, бункера, ёмкости, резервуары), а также элементы задержки, которые также могут быть представлены в виде своеобразных «накопителей». Эти два типа элементов модели выполняют функции интегрирования и запаздывания.

Характеристикой состояния каждого накопителя является уровень (объём) находящегося в нём содержимого (материалов, денежных средств и т.п.). Характеристикой состояния элементов задержки является уровень (объём) содержимого того или иного типа, находящийся в запаздывании. В качестве характеристики воздействия одного элемента на другой выступает темп потока, циркулирующего между этими элементами.

Построение динамической модели производственного потока осуществляется на основе изучения причинно-следственных связей элементов производственной системы и реализуется на базе использования математического аппарата системного динамического моделирования. Схематично модель процесса управления производством представлена на рис. 32. Пример преобразования схемы потоков в блок-схему движения оборотных средств предприятия представлен на рис. 33.

Рис. 32. Схема управления производственным потоком

Рис. 33. Преобразование схемы потоков в блок-схему

движения оборотных средств предприятия

Изменения во времени значений уровней содержимого накопителей и элементов задержки под воздействием входящих и исходящих непрерывных потоков описываются дифференциальными уравнениями. Моделирование таких изменений на ЭВМ требуют предварительного перевода дифференциальных уравнений в конечно-разностные уравнения, описывающие функционирование элементов системы в дискретном времени. Методика Дж. Форрестера использует допущение о постоянстве значений темпов всех потоков на протяжении каждого шага моделирования. Это позволяет сразу представить зависимости между характеристиками состояний элементов непрерывной системы и темпами соответствующих потоков в виде простых конечно-разностных уравнений.

Так, значение характеристики состояния x_i – уровня содержимого i-го накопителя в очередной момент (t + t) модельного времени может быть определено из следующего конечно-разностного уравнения первого порядка

x_i (t, t + t) = x_i (t) + t [R_i (t, t + t) – В_i (t, t + t)],

где x_i (t) - значение характеристики состояния (уровня содержимого) i-го накопителя в момент (t) модельного времени, R_i (t, t + t) и В_i (t, t + t) – значения темпов потока, поступающего на вход i-го накопителя, и потока, исходящего из того же накопителя, на интервале (t, t + t) модельного времени (начальные значения характеристик состояний всех элементов системы задаются).

Для определения значений характеристик состояний элементов задержки используются аналогичные уравнения или совокупность таких уравнений. Темпы всех потоков на протяжении шага (t, t + t) считаются равными значениям, вычисленным на начало данного шага. Поэтому значения характеристик состояний всех элементов системы на конец того же шага, т.е. для момента (t, t + t) времени, могут определяться в произвольном порядке, независимо друг от друга. Шаг моделирования t считается постоянной величиной и выбирается в каждом конкретном случае исходя из целей моделирования.

Значения темпов потоков для очередного шага моделирования определяют исходя из известных значений характеристик состояний элементов системы на начало того же шага, параметров этих элементов и ряда других величин. В случае необходимости значения темпов потоков ограничиваются сверху таким образом, чтобы исключить появление отрицательных значений характеристик состояний соответствующих элементов в конце данного шага моделирования.

Модели системной динамики включают накопители или уровни, связанные между собой управляемыми потоками и содержат четыре основных элемента (рис. 34): 1) накопители (уровни), обозначаемые на схемах в виде прямоугольников; 2) темпы, перемещающие содержимое одного накопителя к другому – в виде сплошных стрелок; 3) функции решений, которые регулируют темпы между уровнями – в виде вентилей; 4) каналы информации, соединяющие функции решения с уровнями – в виде пунктирных стрелок.

Уровни характеризуют возникающие накопления внутри системы. Это товары, имеющиеся на складе, товары в пути. При необходимости могут быть рассмотрены также банковская наличность, производственные площади и численность рабочих. Уровни представляют собой те значения переменных в данный момент, которые они имеют в результате накопления из-за разности между величинами входящих и исходящих темпов. Уровни используются для моделирования всех шести потоков реального производства: информации, материалов, заказов, денежных средств, рабочей силы и оборудования.

Важно выяснить основное различие между уровнями и темпами, поскольку по единице измерения переменных ещё нельзя судить, относятся ли они к уровням или темпам, т.к. некоторые уровни измеряются такими же количественными показателями, что и темпы (например, единицы в неделю).

Рис. 34. Условные обозначения элементов потоковой модели

Для определения, является ли переменная уровнем или темпом, необходимо выяснить, может ли переменная существовать и иметь определённое значение в системе, приведённой в состояние покоя. Значение уровня остаётся даже при прекращении всякого движения в форме потоков. Например, при прекращении поступления и оправки товаров на складе сохраняется определённый уровень их запасов. Если бы вся деятельность в системе остановилась, то уровни физических величин, таких, как товары, денежные средства, рабочая сила, могли бы быть определены и в этом случае (в отличие от темпов).

Уровни используются не только в сетях физических величин, но и в информационной сети, в которой они часто имеют единицы измерения, характерные для темпов (например, средний уровень сбыта за прошлый год может измеряться объёмом за месяц или за год). Но это не темп, который характеризует мгновенную скорость передачи от какого-либо одного уровня к другому. При тенденции постоянного роста средний темп сбыта, определённый в любой момент времени, никогда не будет равен фактическому текущему темпу сбыта в тот же самый момент. Средняя величина сбыта часто трактуется как уровень сбыта или уровень деловой активности. Средний уровень сбыта определяется путём интегрирования мгновенных фактических темпов сбыта за некоторый период времени, например, за год. Поэтому он описывается уравнениями такой же формы, как и другие уровни в системе. У системы, достигшей состояния покоя, средняя величина сбыта за прошлый год представляет собой уровень.

Темпы определяют существующие мгновенные потоки между уровнями в системе. Темп определяет активность, а уровни измеряют состояние, как результат активности в системе. Темпы и уровни имеются во всех шести видах сетей, которые могут составлять систему. Темпы устанавливаются на основе уровней в соответствии с законами, определяющими вид функций решений. По величине темпов определяют уровни. В состав уравнений, которыми определяется темп, обычно входит и уровень, из которого выходит данный темп.

Функции решений (или уравнения темпов) определяют, каким образом имеющаяся информация об уровнях приводит к выбору решений, связанных с величинами текущих темпов. Все решения касаются предстоящих действий и выражаются в форме темпов (выдачи заказов, приобретения оборудования, найма рабочей силы). Функции решений имеют отношение к решениям, принимаемым в процессе управления, а также к действиям, обусловленным естественным состоянием системы. Функция решения может иметь вид элементарного уравнения, определяющего простейшую реакцию темпа на состояние одного или двух уровней (например, производительность транспортной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в пути, представляющим собой уровень, и константой – средним запаздыванием на время транспортировки). Но функция решения может представлять собой и продолжительную и детально разработанную последовательность вычислений, выполняемых с учётом изменения ряда дополнительных условий.