Материал: Методы моделирования управленческих, экономических и бизнес-процессов. Амелин С.В., Щетинина И.В

Тогда содержимое блока K(t) полностью обновляется за время T_K, так как это время отсрочки оплаты поставок:

Ki = – f ∙T_K,

(знак «минус», поскольку источники средств представляются неположительными величинами).

Для начального состояния системы потоков это соотношение будет выполняться автоматически в силу задания начальных условий (как будет показано ниже). Для конечного состояния данное уравнение следует задать как ограничение, налагаемое на систему потоков. Кроме того, по условию стабильного функционирования следует задать постоянство интенсивности потока поставок на отрезке [tpl – T_K, tpl]

Из этого следует, что к моменту времени t = tpl или при i = N интенсивность потока оплаты fopl N будет равна fpos N. Поэтому ограничение на равенство потока поставок и их оплаты в момент t = tpl задавать не нужно.

Чтобы система потоков находилась в стабильном состоянии, следует задать ограничение, где в качестве f принимается величина fpos N, а также равенство fpos(t) и fpros(t) в момент t = tpl

fpros N = fpos N.

Таким образом, уточненная постановка задачи выглядит следующим образом: для производственной системы (рис. 35) найти план поставок на плановом периоде, обеспечивающий максимум продаж, при условиях:

1) до начала планового периода производственная система находилась в известном состоянии стабильного функционирования;

2) после окончания планового периода производственная система находится в некотором состоянии стабильного функционирования;

3) спрос на товары скачкообразно изменяется в момент времени внутри планового периода.

Состояние предприятия в начале периода планирования можно задать значениями пяти переменных величин: Z0, D0, K0, fpos 0, fpros 0, и совокупностью значений функции оплаты f opl i поставок на отрезке [t0, t0 + TK].

Для численного решения задачи методом имитационного моделирования этой цели разрабатывается электронная таблица, содержащая лист исходных данных, лист расчета производственно-финансовых потоков и лист графиков для визуализации получаемых решений.

На Листе 1 (рис. 37), в верхней части таблицы находятся параметры, значения которых можно изменять с клавиатуры (за исключением TK, изменение которого требует корректировки формул расчета потоков). В нижней части таблицы находятся рассчитываемые параметры, значение которых получаются с помощью Excel-формул по значениям параметров из верхней части таблицы.

Момент ступенчатого изменения рынка t1 - номер недели, в начале которой ожидается резкое изменение рыночного спроса (в данном случае падение). В связи с предположением, что до начала периода планирования предприятие функционировало в стабильных условиях, то до этого момента интенсивности всех потоков равны между собой. Эта величина представляет собой начальную интенсивность потоков f0. C1 и C2 - максимальные значения потока продаж, соответствующие рыночному спросу в периоды времени до и после изменения спроса соответственно. TK - период отсрочки оплаты поставок. TZ - норма оборачиваемости запаса. Последний задаваемый параметр - D0 / Z0 - доля начальной величины денежных средств в начальной величине запаса товаров.

Начальный запас товаров Z0 рассчитывается как произведение начальной интенсивности потоков, то есть интенсивности потока продаж, на норму оборачиваемости запаса:

Z0 = f0 ∙TZ.

Начальная величина денежных средств равна произведению начальной величины запаса товаров на долю денежных средств от него:

D0 = Z0 ∙D0 / Z0.

Начальная величина кредиторской задолженности:

K0 = – f0 ∙TK.

Начальная величина собственных средств находится из уравнения баланса:

S0 = – Z0 – D0 – K0.

На Листе2 (рис. 37) выполняется расчет происходящих процессов (потоков) при помощи механизма формул. В формулах в строке 5 для ссылки на оборачиваемость запаса используются абсолютные ссылки на параметры Листа1, записываемые как Лист1!$E$3. Формула в ячейке D5 введена вручную (=МИН(C6/Лист1!$E$7;D4)), затем она была скопирована в ячейку D6. При копировании изменились только два члена, а ссылка на ячейку оборачиваемости запаса осталась неизменной.

При расчётах на Листе2 (Потоки) ссылаются на ячейки в Листе1 (Параметры). Формулы для расчета переменных величин в самую первую неделю вводятся особым образом и отличаются от формул для других недель, так как для первой недели нет предшествующей.

Начальные значения активов и источников средств представляют собой значения рассчитываемых параметров с Листа1 (Параметры), то есть начальное значение запасов товаров - Z0, денежных средств - D0, кредиторской задолженности - K0 и собственных средств - S0.

Начальные значения интенсивностей всех потоков - поставок товаров, их оплаты и реализации - равны величине начальной интенсивности потоков f0 с Листа1 (Параметры).

Первая колонка - названия рассчитываемых потоков. Эта колонка, а также верхняя строка с номерами недель представляют собой закрепленную область для того, чтобы номера недель и названия потоков не исчезали при прокручивании листа.

Общий вид формул расчета величин на Листе2 (Потоки) согласно методу имитационного моделирования:

f_k ⁱ = f_k ⁱ (z ^{i −1} , f ^{i −1}), k = 1,2,…, P,

где f_k ⁱ - интенсивность k-го потока в i-ю неделю, z ⁱ_r - величина r-го «запаса» (то есть разновидности средств или источников средств) в i-ю неделю,

z ^{i −1} = (z₁ ^{i −1} , z₂ ^{i −1} ,…, z_R ^{i −1}),

f ^{i −1} = (f₁ ^{i −1}, f₂ ^{i −1},…, f_P ^{i −1}), (15)

где R - количество наименований «запасов», Р - количество потоков, Ir - множество индексов потоков, входящих в или выходящих из r-го «запаса».

Выражения означают, что значение потока в i-ю неделю рассчитывается по значению «запасов» и потоков в предыдущую неделю, значение «запаса» рассчитывается по значению этого же запаса в предыдущую неделю и значениям потоков в данную неделю.

Компьютерная программа составлена для случая функции сбыта, когда выражение расчета потока продаж в системе уравнений записывается в виде уравнения, то применяя Excel-формулу, получим

fpros i = МИН(Zi / TZ; ri), (16)

где TZ — оборачиваемость запаса товаров, постоянная величина.

В компьютерной программе, на листе «Потоки» величины получены следующим образом:

• рынок ri — по формуле =ЕСЛИ(№ недели < t1; C2; C1), где № недели — номер недели в соответствующем столбце в строке порядковых номеров недель, t1 - номер недели, в начале которой резко изменяется рынок, C1 и C2 - интенсивности рыночного спроса до и после его изменения;

• реализация товаров — по формуле (16);

• запас товаров, денежные средства и кредиторская задолженность — по формуле (15);

• оплата поставок — по формуле fopl(t) = fpos(t – T_K),

т. е. значения в этой строке представляют собой значения из строки поставок товаров в кредит со сдвигом вправо на TK недель (значения строки в первые TK недель равны начальной интенсивности потоков f0);

• собственные средства — по формуле Zi + Di – Sуст + Ki = 0.

Значения средств и потоков на первом шаге, то есть в первую неделю, взяты из Листа1 (Параметры), из f0, Z0, D0, K0 и S0.

Ячейка реализации за плановый период - критерий оптимальности, который рассчитывается как сумма значений потока продаж за плановый период.

Лист3 (Графики) содержит графическое представление получаемых результатов (рис. 38). При создании диаграммы следует использовать Мастера диаграмм, который осуществляет поэтапное руководство процессом построения диаграммы. Во многих случаях Excel может строить диаграмму по выделенным данным.

Рис. 36. Ввод исходных данных в Excel

Рис. 37. Ввод математических соотношений в Excel и расчёт показателей модели

Рис. 38. Представление результатов моделирования в графической форме

3.5. Моделирование производственных процессов с помощью сетей Петри

В 1960-х годах Kарл Петри (С.А.Petri) разработал обобщенное графическое представление для систем. Хольт (A.W. Holt) расширил работу Петри и назвал представление систем сетью Петри. Для представления сетей Петри используются ориентированные графы. Известны два основных подхода к моделированию объектов графами – «топографический» (граф соответствует структуре моделируемого объекта) и «событийный» (граф соответствует процессам, т.е. изменению состояний объекта).

В настоящее время при разработке оперативных планов управления производственными участками в реальном масштабе времени возможно использование метода сетей Петри.

Классическая сеть Петри базируется на двух основополагающих понятиях: событиях и условиях. События - это результаты действий, совершаемых системой. Возникновение событий определяется состоянием системы, характеризующимся множеством условий. Условия, предшествующие событию, называются предусловиями, а вытекающие из его совершения - постусловиями.

Структура сети Петри представляет собой изображенный на плоскости двудольный ориентированный мультиграф, состоящий из следующих четырех элементов: множества позиций Р, множества переходов Т, множества входных функций F и множества выходных функций H. Входные и выходные функции связаны с переходами и позициями. Входная функция отображает переход t_j в множество позиций F(t_j) называемых входными позициями перехода. Выходная функция H отображает переход t_j в множество позиций H(t_j) называемых выходными позициями перехода. В мультиграфе сети Петри позиции изображаются кружками, переходы - черточками (схематическое изображение барьеров, которые надо преодолеть для перехода из одного состояния в другое). Предусловия изображаются ориентированными дугами - линиями со стрелками, ведущими из тех или иных состояний к соответствующему переходу, а постусловия - линиями (дугами) со стрелками, ведущими из какого-либо перехода в соответствующие позиции.

Основные определения сетей Петри. Сеть Петри формально представляется как набор вида N=(Р, Т, F, Н, μ_о), где Р - конечное непустое множество позиций (иначе состояний или мест); Т - конечное непустое множество переходов (событий); F:Р x Т → {0, 1, 2...}; Н:Т x Р→ {0, 1, 2...} - функции входных и выходных инциденций; μ_о:Р→{0, 1, 2,...} - начальная маркировка (разметка) сети.

Графическим изображением сети Петри является ориентированный мультиграф с двумя типами вершин (рис. 39).

Рис. 39. Графическое изображение сети Петри

Вершины p P изображаются кружками, а вершины t T - черточками (барьерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Множества входных и выходных позиций перехода t T обычно обозначают соответственно (^•t) и (t^•), а множества входных и выходных переходов для позиции p P обозначают соответственно (^•р) и (р^•).

При маркировке всем позициям сети Петри приписываются некоторые натуральные числа. На графе маркировка отражается наличием или отсутствием в кружках точек, называемых маркерами (метками, фишками). При этом число маркеров в позиции равно значению функции μ_о:Р→{0, 1, 2,...}. Если мощность множества Р равна n, то маркировку можно представить n-мерным вектором, значения координат которого равны числу маркеров в соответствующих позициях.

Переход от одной маркировки к другой осуществляется посредством срабатывания переходов. Переход t может сработать при маркировке μ, если он является активным (возбужденным), т. е.

μ(p) – F(p, t) ≥ 0, ∀ p∈ P (17)

Это условие означает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (17), маркировка μ заменяется маркировкой μ’ по следующему правилу:

μ’(p)= μ(p) – F(p, t) + H(t, p), ∀ p∈ P ,

т.е. в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(р, t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t, р) маркеров. Это означает что маркировка μ’ непосредственно достижима из маркировки μ и обозначается μ—^t→μ’. Функционирование сети Петри - это последовательная смена маркировок в результате срабатывания активных переходов. Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой.

Важным понятием сети Петри является граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети. Графом достижимости называется граф, вершинами которого являются возможные маркировки. Маркировки μ и μ’ соединяются направленной дугой, помеченной символом перехода t T, если μ—^t→μ’. Если для некоторой маркировки ни один из переходов сработать не может, то такая маркировка называется тупиковой. Маркировка μ’ является достижимой из маркировки μ, если существует такая последовательность переходов τ =(t₁, t₂, …, t_k), что .

Множество всех маркировок, достижимых из начальной, называется множеством достижимости сети Петри и обозначается R(N).

Любая позиция или переход сети могут интерпретироваться как сеть Петри более низкого уровня. Это позволяет организовать многослойные иерархические сетевые структуры.

В сети Петри два возбужденных не взаимодействующих перехода могут сработать независимо друг от друга, поэтому моделям, использующим сети Петри, свойствен параллелизм или одновременность.

В зависимости от топологии сеть Петри называется:

- автономной сетью, если для каждого t T имеется не более одной входной и не более одной выходной позиции, т. е. |^•t| = |t^•| = 1;