Материал: Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки и защиты информации. Борисов В.И., Гармонов А.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

задача скалярной оптимизации будет сформулирована в виде задачи минимаксной аппроксимации, а именно, подставляя (2.4) в (2,5) имеем

min max e( X , ).

(2.6)

XE

Вобщем случае аналитическое решение задачи (2.3) неизвестно. Для численных

методов расчета характеристик устройства необходимо перейти к дискретной задаче путем

покрытия области E

-сетью с дискретными значениями

1,

2,…,

Р. Если обозначить

f j ( X ) Hi ( X , l ) , Z1 j

Hнi ( l ) , Z2 j Hвi ( l ) , [1, Pi ],

i

[1,P],

где Pi - количество

точек в поддиапазоне E i , то соответственно условия работоспособности будут определяться соотношениями

Z1 j f j ( X )

Z2 j , j [1, M ],

(2.7)

и

 

 

Qj (X )

e j (X , ) ,

(2.8)

а дискретная минимаксная задача, следующая из исходной непрерывной задачи (2.3), может быть сформулирована в виде задачи скалярной оптимизации Ошибка! Источник ссылки не найден., где

 

 

 

Q( X )

max Qj ( X )

(2.9)

 

 

 

 

 

j [1,M ]

 

или в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min max Qj ( X )

(2.10)

 

 

 

 

X Ew

j [1,M ]

 

Таким образом, задача векторной оптимизации фактически сведена к задаче

скалярной оптимизации, решение которой связано с минимизацией M функции максимума

(2.9), заданной на EN.

 

 

 

 

 

 

 

В случае, когда критерий Q(X ) задан на всем пространстве EN, имеем следующие

выражения для непрерывных и дискретных задач скалярной оптимизации

 

 

 

 

 

min Q( X ),

(2.11)

 

 

 

 

X

D

 

 

 

 

 

min max e( X , ),

(2.12)

 

 

 

X

D

E

 

 

 

 

 

 

min max Q j ( X ).

(2.13)

 

 

 

 

X D

j [1,M ]

 

Нередко в качестве обобщенного критерия выбирается среднестепенная норма

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

Q( X )

 

Q ( X ) q

(2.14)

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

1

 

где Q j ( X ) e j ( X )

 

, j

[1, M ];

H 0 j - заданная "эталонная" функция;

 

j

H 0 j f j

 

q 1 - целое положительное число.

94

Когда требования ЧТЗ заданы в виде коридоров допусков, то в [2] предложено вместо обобщенного критерия (2.14)использовать критерий вида

 

 

 

 

Qj ( X ) s

1s

 

Q( X )

 

Qmax

 

 

 

,

(2.15)

j J Qmax

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s qsign(Qmax ) ,

 

 

 

 

 

 

 

J

{ j

Q j ( X

0)}, при Qmax

0

 

1 : M , при Qmax 0

 

 

 

 

 

 

 

Qmax

max Q j ( X )

 

 

 

 

 

 

[1,M ]

 

 

При положительном максимальном отклонении

Qmax обобщенный критерий (2.15)

формируется из положительных функций-отклонений и наоборот.

 

Функции f j (X ) , Q j ( X ) ,

 

j [1: M ] могут быть как линейными, так и нелинейными

функциями параметров X. Исходя из

условий работоспособности,

решение ЗВО может

считаться удовлетворительным, если все локальные критерии Q j ( X ) принимают отрицательные значения. Таким образом, задача векторной оптимизации УЦОС сведена к задаче скалярной оптимизации. В качестве целевой функции последней задачи выступает обобщенный критерий оптимальности, формируемый на основе совокупности локальных

критериев Ошибка! Источник ссылки не найден. или функций f j (X ) , j

[1: M ] . Задача

скалярной оптимизации имеет в рассматриваемом случае вид

 

 

 

 

min Q( X ).

 

 

 

 

X

D

 

 

 

Мультипликативный и аддитивный обобщенные критерии соответственно

определяются выражениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

iQi ( X )

 

 

Q( X )

 

i 1

 

 

 

(2.146)

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k Qk ( X )

 

 

 

 

k m1

1

 

 

 

 

m1

 

 

m2

 

 

 

Q( X )

 

iQi ( X )

k Qk ( X ),

(2.17)

 

i 1

 

 

k m1

1

 

 

где первые m1 функций должны уменьшаться, а остальные m2-m1 - увеличиваться.

Недостатками критериев вида (2.16), (2.17) являются [7, 10, 30, 48]: неограниченная возможность компенсации уменьшения качества по одному локальному критерию

95

увеличением качества по другому (другим), что в ряде случаев маскирует внутренние технические противоречия оптимизируемого УЦОС.

Данные недостатки устранимы при использовании максиминного обобщенного критерия. В максиминном критерии, предложенном в [54], вводятся запасы работоспособности, представляющие собой относительные (безразмерные) оценки выполнения каждого из условий работоспособности

Qj

j min

f j ( X ) Z1 j

1,

Z

2 j

f j

( X )

1 ,

(2.18)

 

 

 

 

 

j

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где j - оценка рассеяния значений j-той функции.

 

 

 

 

 

 

Величина j задается равной допуску или статистическому разбросу

f j (X ) . Если эти

величины неизвестны, ими надо задаваться исходя либо из предварительных расчетов, либо из опыта. Например, если путем расчетов или опытным путем установлено, что функция

f j (X ) распределена по нормальному закону с дисперсией

j,

то полагая, что в процессе

оптимизации дисперсия

j меняется мало, можно считать j=3

j.

 

При известных оценках рассеяния задачу векторной оптимизации можно поставить и

решить как максиминную

 

 

 

 

max min Qj ( X )

 

(2.19)

 

X D j [1:M ]

 

 

 

или минимаксную

 

 

 

 

 

min max

Q j ( X )

 

(2.20)

 

X D j [1:M ]

 

 

 

При отсутствии

оценок рассеяния

j, j [1: M ] задача

(2.20) сводится к задаче

Ошибка! Источник ссылки не найден..

Критерий (2.18) также, как и критерий Ошибка! Источник ссылки не найден., не является гладким, что существенно усложняет задачу оптимизации и требует применения специальных алгоритмов [54, 55]. В ряде случаев применяется подход, основанный на процедуре сглаживания критерия (2.20) с последующим обращением к методам гладкой оптимизации [3, 5, 7, 11, 28, 48].

Так как

arg min Qj

arg max e

Q j

 

j

j

 

то задача (2.20) эквивалентна задаче

max e Q j min .

(2.151)

j

 

96

Здесь к (2.21) применима среднестепенная свертка Ошибка! Источник ссылки не найден.. В результате приходим к следующему обобщенному критерию оптимальности:

M

 

qQ j ( X )

 

 

Q( X )

e

min (q 1,2, ).

(2.22)

 

j

1

 

X

 

 

 

 

На

Расчет частотных (временных)

 

 

 

 

характеристик H i

X ,

 

и их

граничных значений

 

 

 

 

H Hi , H Bi

,i

1, P

Формирование

 

вектора

функций отклонения (ЛКО)

 

 

 

e1(X,

, e2 X ,

,..., eP X

 

 

 

Выбор номера обобщенного критерия оптимальности из базового набора

Нормирование

функций

ei X , , i 1, P

Расчет численного значения обобщенного

критерия

97

Ко

Рис 2.1 Схема алгоритма расчета обобщенных критериев оптимальности УЦОС

В результате, при решении задач векторной оптимизации УЦОС, когда требования ЧТЗ к ЧХ заданы либо в виде односторонних, либо в виде двусторонних неравенств, в

качестве обобщенных критериев оптимальности целесообразно использовать целевые функции вида Ошибка! Источник ссылки не найден., (2.14) – (2.20) и (2.22). Алгоритм формирования базового набора обобщенных критериев оптимальности УЦОС приведен на рис.2.1.

Рассмотренные выше целевые функции вошли в библиотеку целевых функций подсистемы оптимального проектирования УЦОС [62]. Базовый набор целевых функций,

введенный в состав библиотеки алгоритмов подсистемы, позволяет сформировать различные требования к проектируемому устройству, и обеспечивает решение широкого круга задач оптимального проектирования УЦОС в различной постановке.

2.2 Алгоритмы экономичных вычислений частотных характеристик

цифровых фильтров

Оптимальное проектирование УЦОС крайне затруднено даже с применением

высокопроизводительных ПЭВМ и инженерных рабочих станциях (ИРС). Так как:

-в обобщенные критерии входит большое количество характеристик УЦОС, расчет которых требует значительных машинных и временных ресурсов;

-на каждом оптимизационном шаге используется многократный расчет всего устройства в целом, при этом основное время и ресурсы занимает расчет передаточных функций цифровых фильтров, входящих в состав УЦОС.

Рассмотрим основные приемы сокращения вычислительных затрат при решении задач

оптимизации УЦОС, когда в их структуре имеется либо нерекурсивный , либо рекурсивный цифровые фильтры (НЦФ, РЦФ) [15, 33, 72].

Прежде всего рассмотрим алгоритм расчета частотных характеристик (ЧХ) НЦФ.

Практически реализуемую ЧХ НЦФ можно записать в виде [72]

H (k) A(k)e j (k ) R(k) Y (k ) ,

(2.23)

где k [1: M ] , M - число точек дискретизации на оси частот. Тогда процедуру расчета ЧХ НЦФ условно можно представить следующей схемой:

98

Источник: https://studfile.net/preview/16563615/

Смотрите также:

2181
CATALOG_ETATRON_2018_WEB
Аксаков И.С.. О жизни мудрствуем, а жизнью не живем
Аксиоматический метод в математике
Анализ деятельности кафе 'Агата'
Аналіз господарської діяльності ТОВ 'АТЗТ Єврометал'
Английский язык в сфере юриспруденции
Возможные экономические риски организации инфобизнеса и их характеристика
Глава 15
Концептуальные аспекты семантики слова (на материале пословиц русского языка)