Материал: Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки и защиты информации. Борисов В.И., Гармонов А.В

Ri=bi+Ri+1cos k T )-Ii+1sin k T ),

Ii=-Ri+1sin k T )+Ii+1cos k T ), i=n-1,…,1,0,

A(e-jkT)=R0 k T )+jI0 k T ).

По аналогии вычисляются значения полинома знаменателя

B(e-jkT)=K0 k T )+jL0 k T ).

Тогда значение АЧХ на частоте k вычисляется по формуле

а значение ФЧХ - по формуле:

Здесь для расчета АЧХ требуется выполнить только 8n операций умножения, где n -

порядок передаточной функции, и только два вычисления функций sin k T ) и cos k T )

независимо от n. Число операций умножения и вычисления этих функций непосредственно по соотношению Ошибка! Источник ссылки не найден. равно соответственно 4n и 2n. При реализации на ПЭВМ вычислений sin k T ) или cos k T ) требуется обращение к соответствующим подпрограммам, в которых обычно используется 3...4 члена разложения функции в ряд Тейлора, т. е. требуется в среднем восемь операций умножения.

Следовательно, при вычислении АЧХ звена цифрового фильтра второго порядка схема Горнера дает выигрыш в восемь операций умножения для каждого значения частоты. При увеличении порядка фильтра этот выигрыш существенно возрастает.

Рассмотрим еще один алгоритм приближенного расчета обобщенных критериев,

используемый в данной работе. Его применение тем более целесообразно, чем сложнее математическая модель УЦОС, расчет которой необходим для вычисления значения целевой

100

Q(X p) успешно аппроксимируется функцией Qp ( X p) . При этом функция Q(X p)

может и не обладать свойствами квадратичности.

2.3 Построение алгоритмов вычисления производных обобщенных

критериев оптимальности УЦОС

При решении задач оптимального проектирования УЦОС с использованием обобщенных критериев типа (2.14), (2.15) и (2.22) возникает необходимость расчета производных этих критериев. Для обобщенных критериев, заданных аналитически, можно воспользоваться аналитическими методами вычисления производных. Однако на практике такой подход имеет ограниченное применение, так как в конкретных задачах реальные обобщенные критерии имеют достаточно сложную структуру, не позволяющую воспользоваться аналитическим дифференцированием. Поэтому наряду с аналитическими на практике применяются также полуаналитические и численные методы. Следовательно, в

коллектив конкурирующих алгоритмов расчета производных обобщенных критериев типа

(2.14), (2.15) и (2.22) целесообразно включить алгоритмы, основанные на использовании аналитических, полуаналитических и численных методов.

Достоинства аналитических методов широко известны, однако область их применения достаточно ограничена. В основном они применяются при оптимальном проектировании широкополосных селективных УЦОС невысокого порядка.

Полуаналитические методы занимают промежуточное положение между аналитическими и численными методами построения производных. Эти методы основаны на использовании специальной структуры оптимизируемых обобщенных критериев и в этом смысле оказываются менее универсальными, чем численные методы. Область их применения занимает промежуточное положение между узкополосными и широкополосными селективными УЦОС. В силу универсальности и относительной простоты реализации численные методы расчета производных используются при решении задач оптимального проектирования узкополосных селективных УЦОС большой размерности. Таким образом,

основным критерием адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев является размерность вектора варьируемых параметров.

Общая схема алгоритмов расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС и их производных приведена на рис. 2.2.

101

Рассмотрим обобщенные критерии вида Ошибка! Источник ссылки не найден. и

(2.22), как наиболее характерные для задач оптимального проектирования УЦОС. Имеем следующие выражения для составляющих вектора градиента:

критерия может быть сведено к вычислению первых производных функций Ql . Таким образом, при оптимизации обобщенных критериев оптимальности УЦОС достаточно остро стоит проблема расчета их производных.

Рассмотрим вывод формулы вектора градиента для обобщенного критерия типа (2.14)

в случае, когда решается задача проектирования НЦФ и РЦФ. Для других случаев эти формулы выводятся аналогично. Компонентами вектора градиента, которые должны быть определены, являются Q( X ) / pn и Q( X ) / qn .

Принимая во внимание, что для НЦФ имеет место соотношение (2.23) и

продифференцировав в частных производных формулу Ошибка! Источник ссылки не найден. по pn и qn, а также произведя требуемые алгебраические преобразования, получим:

102