Материал: Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки и защиты информации. Борисов В.И., Гармонов А.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Q

 

 

 

 

1

M 1

 

 

 

 

kn

l

 

Re

 

 

 

 

u

 

(k )R(k ) u

 

(k )Y (k ) W

pn

 

M k

s

z

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

M 1

 

 

 

 

 

(2.33)

 

 

Im

 

 

 

 

 

us (k )R(k ) u z (k )Y (k ) WM kn ,

 

M k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ql

 

 

 

 

1

M

1

 

 

 

 

kn

 

 

Re

 

 

 

u

s

(k )R(k ) u

z

(k )Y (k ) W

M

qn

 

M k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

M 1

 

 

 

 

 

(2.34)

 

 

Im

 

 

 

 

 

us (k )R(k ) u z (k )Y (k ) WM kn ,

 

 

M k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где us(k) и uz(k) - алгебраические выражения, вид которых зависит от способа задания требований ЧТЗ к ЧХ и не оказывает существенного влияния на объем вычислений.

Выражения в фигурных скобках приведенных формул соответствуют однократному БПФ. С учетом общих членов формул (2.33) и (2.34) компоненты вектора градиента могут

быть в последующем математически обработаны посредством двукратных БПФ.

Данный способ расчета компонент вектора градиента применим также и в случае,

когда одновременно оптимизируются АЧХ и ФЧХ. При этом на практике очень часто вместо ФЧХ одновременно с АЧХ оптимизируется характеристика ГВЗ. В этом случае необходимо член формулы Ошибка! Источник ссылки не найден., соответствующий сумме ошибок ФЧХ обобщенного критерия, преобразовать в сумму ошибок характеристики ГВЗ. При этом в целях ускорения времени расчета характеристики ГВЗ предлагается использовать БПФ.

Представив передаточную функцию НЦФ формулой (2.23) можно получить формулу для

расчета характеристики ГВЗ в удобной для применения БПФ типа (2.25) форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (k)

 

R(k)

 

 

R(k)

Y (k)

 

 

(k)

1

 

 

k

k

.

(2.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2M

 

 

 

 

 

 

 

R2 (k) Y 2 (k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

H (

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jt h(t)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

(2.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где F и F-1 соответственно прямое и обратное преобразование Фурье, то

 

 

 

 

 

H (k)

 

 

R(k)

 

 

 

Y (k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

(2.37)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 j (n)

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

jq

 

 

 

W

kn .

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104

где

(n)

n, 0 n M / 2

(n)

n M , M / 2 1 n M 1

Из формул (2.23) и (2.35) следует, что для быстрого вычисления характеристики ГВЗ целесообразно воспользоваться двукратным БПФ.

Быстрое вычисление компонент вектора градиента связана с необходимостью быстрого вычисления сумм вида:

(k)

(k)

и

(k)

(k)

.

(2.38)

 

 

k

pn

k

 

qn

 

Из формул (2.35), (2.37), а также из соотношений

 

 

 

 

R(k)

 

 

Re

 

W kn

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (k)

 

 

Im

 

W kn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

(k)

Re

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

 

(k) W

kn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

2

 

 

 

 

1

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l(n) Re

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

 

 

(k) W

 

kn

 

 

 

 

2

 

 

3

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

(k) W

 

 

kn

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l(n) Im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

 

 

(k) W

kn

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом

1

2

 

 

(R 2

x2 )

 

x

k

 

2Rx

R

(k)

 

 

 

 

 

 

 

k

 

(R 2

 

x2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R 2

x2 )

 

R

k

2Rx

R

(k)

 

 

 

 

 

 

 

k

 

(R 2

 

x 2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

 

R

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

 

x

 

.

 

 

4

 

 

 

 

 

 

R 2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

105

Второй член формулы (2.38) можно получить таким же путем. Из приведенных выше результатов следует, что вычисления по формуле (2.38) целесообразно проводить с использованием четырехкратного БПФ.

Передаточная функция РЦФ имеет вид [72]

m

 

H (z) C0 H i (z) ,

(2.170)

i 1

 

где

 

 

 

1

a

z

1

a

2i

z 2

 

 

H i

(z)

 

 

1i

 

 

 

 

.

(2.41)

1

b

z

1

b

 

z 2

 

 

 

 

1i

 

 

2i

 

 

 

Можно показать, что для каскадной формы реализации РЦФ производные АЧХ по его коэффициентам, необходимые при вычислениях по формулам (2.28), (2.29), имеют вид

 

H ( X , )

 

 

 

 

H ( X , )

 

 

 

[a1i

(1 a2i ) cos

] ,

 

 

 

 

(2.42)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( X ,

)

 

 

 

 

 

 

H ( X ,

)

 

 

[ 1

2 cos2

a

cos

a

 

]

,

(2.43)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1i

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( X , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( X , )

 

 

 

 

 

[b1i

(1 b2i ) cos

 

] ,

 

 

 

 

(2.44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( X ,

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( X ,

)

 

 

[ 1

2 cos2

b

cos

 

b

 

] ,

(2.45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

m

N

 

 

 

H ( X , )

C

 

i

.

(2.46)

 

 

0

 

 

 

 

Di

 

 

 

i 1

 

Обратимся теперь к численным методам вычисления производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС. Достоинством численного подхода, кроме его универсальности, является низкая стоимость подготовки задачи к решению на ПЭВМ. От пользователя требуется лишь написание программы для вычисления значения Q(X ) при заданном X . Для численного расчета первых производных в данной работе использована формула

Q

 

Q( X s i ) Q( X s i )

,

(2.47)

xi

 

2s

 

 

 

где i (0, ,1, ,0) .

106

Q / X i ,

Величина шага s в формуле (2.47) может вычисляться двумя способами. В первом величину s на каждой k+1 -ой итерации определяют в соответствии с известным методом Стюарта [77], и находят как наименьший положительный корень кубического уравнения:

1

g 2

 

s3

 

s2

g 2

Q

 

4

Qk ( X )

Q

 

0.

(2.48)

 

 

 

 

 

 

2

ii

 

 

 

 

ii

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

Здесь gii - диагональные элементы гессиана обобщенного критерия; Q k ( X ) - значение обобщенного критерия на k-ой итерации; - машинная точность ( =9.537*10-7). Решение уравнения (2.48) находится способом, изложенным в [77].

Для ряда алгоритмов величина s является фиксированной в ходе работы и определяется из выражений:

 

s

i

x(0) , i

1, N

 

 

 

i

 

 

si

 

i ,

если si

i

(2.49)

si

в противном случае

 

 

 

x(0)

где i - i-я компонента вектора начального приближения; - некоторая малая величина.

По результатам тестирования алгоритмов на классе тестовых задач величина принята равной 10-4.

При использовании соотношения (2.47) вычислительные затраты характеризуются числом обращений к вычислению значений Q(X ) : для вычисления градиента – 2N, для вычисления матрицы Гессе - (2N2+1) обращений, где N - размерность вектора варьируемых параметров X .

Эффективность приведенных способов расчета производных была исследована на классе тестовых задач оптимизации УЦОС. Результаты тестирования послужили основой для определения численных значений критериев адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС. К примеру, по результатам тестирования для использованного в данной работе варианта алгоритма соряженных градиентов величину s наиболее целесообразно вычислять как наименьший положительный корень кубического уравнения (2.48).

Отметим, что реализованные на основе численных производных методы оптимизации оказываются, по существу, методами 0 – го порядка [3]. Действительно, заменяя например, конечно – разностной формулой (2.47), фактически используем лишь значения обобщенного критерия Q , вычисленные при определенных значениях аргумента.

107

3. АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК УЦОС

3.1Поисковый алгоритм оптимизации обобщенных критериев

Врассматриваемом случае задача оптимального проектирования УЦОС сводится к решению задачи минимизации скалярной функции полезности. С учетом ограничений на переменные и способов свертывания ЛКО она решается как задача нелинейного программирования (НЛП) с ограничениями [3, 5, 7, 13, 18, 93]

min Q( X ) ,

(3.1)

X

 

где в качестве целевой функции используются обобщенные критерии оптимальности, а

область допустимых значений варьируемых параметров D задается двумя типами

ограничений: gi ( X ) 0 , i [1, m]; gi ( X )

0 , i [m 1, r]. В общем

случае функционал

Q(X ) и функции ограничения gi ( X ) -

нелинейные, кроме того

они могут быть и

негладкими.

Возможные методы решения задачи НЛП типа (3.1) можно разбить на две группы:

методы без вычисления производных (методы 0 – го порядка) и методы, использующие производные (методы 1 – го и 2 – го порядков) [3, 13, 34, 93]. Методы первой группы используются в тех случаях, когда не требуется гладкость и непрерывность целевой функции. Кроме того, их часто применяют на начальном этапе оптимизации, когда требуется выйти в окрестность решения, или получить хорошее начальное приближение. Методы второй группы сходятся намного быстрее и они эффективны на промежуточном и заключительном этапах процесса поиска оптимума.

Рассмотренные в предыдущих главах особенности обобщенных критериев Q(X )

свидетельствуют о том, что для решения задачи (3.1) необходима разработка комбинированного алгоритма оптимизации, в котором должны быть реализованы алгоритмы оптимизации нулевого, первого и второго порядков, глобального и локального поисков. К

идее построения комбинированного алгоритма можно прийти по нескольким причинам. Во-

первых, не существует одного универсального алгоритма минимизации базового набора критериев оптимальности УЦОС. Во-вторых, к этому приводит стремление ускорить сходимость процесса оптимизации, так как на разных этапах скорость сходимости разных методов неодинакова. В-третьих, к этому приводит необходимость решения

108

Источник: https://studfile.net/preview/16563615/

Смотрите также:

2181
CATALOG_ETATRON_2018_WEB
Авторитарный политический режим
Аксаков И.С.. О жизни мудрствуем, а жизнью не живем
Аксиоматический метод в математике
Анализ деятельности кафе 'Агата'
Аналіз господарської діяльності ТОВ 'АТЗТ Єврометал'
Английский язык в сфере юриспруденции
Возможные экономические риски организации инфобизнеса и их характеристика
Глава 15