Метод введения поправок. Довольно часто систематические погрешности могут быть вычислены и исключены из результата измерения с помощью поправки. Поправка С — величина, одноименная с измеряемой хи , которая вводится в результат измерения х = хи + ∆с+ С с целью исключения систематической погрешности. В случае С=—∆с систематическая погрешность полностью исключается из результата измерения. Поправки определяются экспериментально или путем специальных теоретических исследований и задаются в виде формул, таблиц или графиков.
Наиболее просто методом введения поправок исключают постоянные инструментальные систематические погрешности, которые обычно выявляют посредством поверки средства измерения. Ввод одной поправки позволяет исключить влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих, в результат измерения приходится вводить ряд поправок.
Рассмотрим далее некоторые методы, применяющиеся для обнаружения и уменьшения переменных и монотонно изменяющихся во времени систематических погрешностей.
Метод симметричных наблюдений весьма эффективен при выявлении и исключении погрешности, являющейся линейной функцией соответствующего аргумента (амплитуды, напряжения, времени, температуры и т. д.).
Предположим, что измеряется величина хи, а результаты наблюдений хi, зависят от времени t. Для выявления характера изменения погрешности выполняют несколько наблюдений через равные промежутки времени ∆t. Пустьвыполнено пять наблюдений x1 ... х5 в моменты времени t1 ... t5. Далее в ы - числяют средние арифметические значения двух пар наблюдений (х1+х5)/2 и (x2+x4)/2. Наблюдения в этих парах проведены в моменты t1 , t5 и t2 , t4 , симметричные относительно момента t3. При линейном характере изменения погрешности, полученные средние значения должны быть одинаковы. Убедившись в этом, результаты наблюдений можно записать в
56
виде хi = хи + kti ,где k— некоторая постоянная. Пусть x1 =хи+ kt1и х2 = хи + kt2. Решение системы этих уравнений дает значение хи, свободное от переменной систематической погрешности: хи=(x2t1–x1t2)/(t2-t1). Подобным образом удается исключить погрешности, обусловленные, например, постепенным падением уровня напряжения источника питания (аккумулятора, батареи).
Метод анализа знаков неисправленных случайных погрешностей. Когда знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с некоторой закономерностью, имеет место переменная систематическая погрешность. Если у случайных погрешностей последовательность знаков «+» сменяется последовательностью знаков «-» или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если же у случайных погрешностей группы знаков «+» и «-» чередуются, то имеет место периодическая систематическая погрешность.
Графический метод является наиболее простым для обнаружения переменной систематической погрешности в ряде результатов наблюдений. При этом методе рекомендуется построить график, на который нанесены результаты наблюдений в той последовательности, в какой они были получены. На графике через точки наблюдений проводят плавную линию, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.
В заключение отметим, что при измерениях всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей (НСП).
2.1.2. Случайная погрешность
Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных
57
погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерений и его случайной погрешности. Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины [3, 13].
2.1.2.1. Законы распределения и основные характеристики случайной величины
Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма закона распределения плотности вероятностей случайной величины.
Если известен дифференциальный закон распределения случайной величины, то вероятность Р её попадания в интервал от x1 до х2
1 |
2 |
|
|
x |
|
||||
P x |
x x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
Графически эта вероятность
f x dx .
выражается отношением
площади, лежащей под кривой |
f (x) |
в интервале от х1 |
до х2 |
к |
||
|
||||||
общей площади, ограниченной кривой распределения. |
|
|
||||
Кроме |
непрерывных |
случайных |
величин |
в |
||
метрологической практике встречаются и дискретные случайные величины. Для описания свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные. Все они представляют собой некоторые средние значения; причём, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра распределения—центральными.
Начальный момент К-го порядка определяется формулами:
58
k |
|
|
|
x |
|
|
|||||
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
n |
|
|
|
||||
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i 1 |
f x dx
xk p1
,
.
где рi – вероятность появления дискретной величины. Первая формула относится к непрерывным, а вторая к дискретным случайным величинам.
Наибольший интерес для анализа представляет
математическое ожидание случайной величины (k = 1)
k |
|
|
|
x |
k |
f x |
|
||||||
m |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Центральные моменты формулам
n
dx mk xk p1 .
i 1
k-го порядка рассчитываются по
k |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
(x a) |
k |
f (x)dx; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
N |
(x a) |
|
p |
|
|
k |
|||||
|
|
|
|
|||
k |
|
i |
|
i |
||
|
|
i 1 |
|
|
|
.
Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k = 2), т.е. дисперсия случайной величины.
mk |
|
x a 2 f |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
k |
|
|
i |
a |
|
|
|
|
||||
m |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
x dx ,
pi .
Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных её значений; размерность дисперсии — квадрат случайной величины. Часто в качестве характеристики рассеяния случайной величины принимают корень квадратный из дисперсии, называемым средним квадратическим
59
отклонением (СКО), которое имеет размерность случайной величины.
К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.
Оценка считается состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.
Несмещенной считается оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемой величины.
Эффективность оценки определяется величиной дисперсии. Чем меньше дисперсия, тем эффективнее оценка.
Впрактике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с
нормальным и равномерным распределениями плотности вероятностей. Правила обработки результатов наблюдений, как правило, регламентируются нормативно-техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями). Так в стандарте на методы обработки результатов прямых измерений с многократными повторениями наблюдений указывается, что приведенные в нем методы обработки установлены для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному закону.
Нормальное распределение плотности вероятностей
характерно тем, что согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, такое распределение обусловлено влиянием бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями. Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим.
Ваналитической форме нормальный закон распределения выражается формулой
60