Материал: Метрология и стандартизация в СПЦС. Поздышева О.В., Остапенко А.Г

где х - случайная величина; а - математическое ожидание случайной величины; - среднее квадратическое отклонение (СКО).

Перенеся начало координат в центр распределения а и откладывая по оси абсцисс погрешность, x = х – а, получим кривую нормального распределения погрешностей (рис. 2.2)

Рис. 2.2. Кривая нормального распределения погрешностей

Для группы из n наблюдений, распределенных по нормальному закону

61

Кривая нормального распределения погрешностей симметрична относительно оси ординат. Это означает, что в массе своей погрешности имеют примерно одинаковое количество отклонений, как в отрицательную, так и в положительную сторону. Из характера кривой следует, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

Сравнивая между собой кривые нормального распределения с различными СКО, можно убедиться, что чем меньше СКО тем меньше рассеяние результатов измерений и тем больше вероятность того, что доля малых отклонений больше, чем больших. Естественно заключить, что качество измерений тем выше, чем меньше СКО случайных погрешностей.

Случайная величина х может принимать одни и те же значения в пределах некоторого конечного интервала от х1до х2 с постоянной плотностью вероятностей. Такое распределение называется равномерным и описывается соотношениями:

f (x) = cx1 x x2;

f (x) = cx x1; x x2.

Так как площадь, ограниченная кривой распределения равна единице, то

c (x2 – x1) = 1;

с 1 . x2 x1

Отсюда плотность распределения

62

В силу симметрии равномерного распределения медиана

плотности не имеет.

Определения медианы и моды:

Медиана – центр симметрии распределения. Для нормального распределения совпадает с математическим ожиданием. Мода – координата максимума плотности распределения. Для нормального закона распределения также совпадает с математическим ожиданием. Дисперсия величины х определяется по формуле:

2.1.2.2. Варианты оценки случайных погрешностей

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерений используются: предельная погрешность; интервальная оценка; числовые характеристики закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется степенью полноты сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

63

Предельная погрешность m - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которыхчетко выражены и существует такое значение m , которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины. Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки. Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от - x(P) до x(P), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р 100% всех возможных значений случайной погрешности.

Интервал с границами x(p) называется

доверительным интервалом случайной погрешности, а

соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.

Доверительные границы случайной погрешностиx(P), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле x(P) = t , где t -коэффициент, зависящий от Р и вида закона распределения.

64

В таблице приведены доверительные вероятности и соответствующие им доверительные интервалы. При нормальном распределении погрешностей принято считать случайную погрешность с границами 3 предельной

(максимально возможной) погрешностью. Погрешности,

выходящие за эти границы, классифицируются как грубые или промахи.

Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе наблюдений относительно среднего их значения, а вычисляется по формуле

Поскольку число наблюдений в группе ограничено, то повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно серии наблюдений и, вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, мы убедимся в рассеянии средних арифметических значений. Характеристикой этого рассеяния является среднее

квадратическое отклонение среднего арифметического

СКО Sx используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями. При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе наблюдений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим значением а.

65