Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

13) z = sin

π

−i cos

π

;

Re z = sin

π

=

3

;

3

3

3

2

Im z = −cos

π

= −

1

;

z

=1; argz = −

π

;

3

2

π

6

π

π

−i

Рис. 1.7

z = cos

−

6

+i sin

−

;

z = e

6

(рис. 1.7).

6

15) z =1−sin α+i cosα;

Re z =1 −sin α; Im z = cosα

z

=

2

1 −sin α

; arg z = arctg

cosα

, α ≠

π

+ 2πk; ,k = 0, ±1..

,

1

−sin α

2

π + 2πk

при α =

arg z не определен.

2

z =

cos α

) +i sin(arctg

cos α

2(1 −sin α) cos(arctg

)

;

1

−sin α

1

−sin α

i arctg

cosα

z =

1−sin α .

2(1 −sin α)e

16)

z = ctg α+i; ( α ≠ πk ); Re z = ctg α; Im z =1;

z

=

1+ctg2α =

1

;

arg z = α+ πn;

sin α

α

α

≤ n

≤1−

( n = 0, ±1,...) ,

−

π

1

π

1

z =

(cos (α

+ πn) +i sin (α+ πn)) =

ei

(α+πn).

sin α

sin α

z

= −b ± D

= −2 ± 4 −8

= −2 ± −4 = −1±i .

1,2

2a

2

2

z = −2 + 2i ± −16

= −1+i ±

2i; z = −1−i; z

2

= −1+3i .

1,2

2

1

.

5) 5z5 −4z4 +3z3 −3z2 +4z −5 =0 очевидно z

=1

Делим левую часть на двучлен z −1. Получаем1

5z4 + z3 +4z2 + z +5 =0 .

Сгруппируем по парам:

5

(z4 +1)+(z3 + z)+4z2 = 0 .

Разделим обе части на z2 :

2

1

1

= 0 .

5

z

+

+

z +

+

4

z

2

z

Сделаем замену z +

1 = t , при этом z

2 +

1

=t2

−2 .

Далее:

z2

z

5t2 +t −6 =0 ;

t

= −1±

1+120 =

−1±11;

t = −6 ;

t

2

=1.

1,2

10

10

1

5

Найдем z :

z + 1

6

= −

; 5z2

+6z +5 = 0 ;

z

5

z2,3 = −3 ±

9 −25 = −3 ±

−16 = −3 ±4i ;

z +

1

=1;

5

5

5

z

z2 − z +1 =0 ;

z4,5

= 1±

1−4

= 1±i 3 .

2

2

Ответ: z =1;

z

= −3 ±

4 i;

z

= 1 ±i

3

.

2,3

4,5

1

5

5

2

2

различные значения корня):

1)

3 +4i ;

2)

−3 −4i ; 3) 6 64 ;

4) 8 1 ;

5) 3 −2 +2i ; 6) 5 −4 +3i .

Решение.

2) −3 −4i . Запишем подкоренное выражение в тригонометри-

ческой (или в показательной) форме:

−3 −4i = 5

4

− π) +i sin(arctg

4

− π)

cos(arctg

3

3

.

Извлечем корень, предварительно прибавив к аргументу период

arctg

4

−π+2πk

arctg

4

−π+2πk

3

3

2πk :

−3 −4i = 5 cos

+isin

,

2

2

При k = 0

arctg

4

−π

arctg

4

−π

−3 −4i =

3

+isin

3

5 cos

.

2

2

По формуле тригонометрии

cos

α = ±

1+cos α

,

где в нашем

2

2

случае α = arctg

4 − π, вычислив сначала

3

1

1

3

cos α = −

= −

= −

,

1

+ tg2α

1+

16

5

получим

9

1−

3

1+

3

5

5

−3 −4i

=

5

−

+i

= −1+ 2i .

2

2

3)

6 64 = 26 1 . Вычислим шесть значений

корня шестой степени из единицы, пользуясь

геометрическим

изображением

корней

на

комплексной плоскости. Один корень очеви-

ден – это число 1. Все шесть корней нахо-

дятся в вершинах правильного шестиуголь-

ника, вписанного в окружность единичного

Рис. 1.8

радиуса с центром в начале координат, и от-

стоят друг от друга на угол π/3 (рис. 1.8).

Осталось домножить каждый из полученных корней на 2.

Ответ:

6 64 ={2; 1+i

3; −1+i

3;

−2; −1−i

3; 1−i

3} .

5)

3

−2

+ 2i;

2 + 2i = 2

2

3π

+i sin

3π

=

cos

4

4

=

2

3π

+ 2πk

+i sin

3π

+

2πk

,

(k = 0,1,2);

2 cos

4

4

при k = 0

3

−2 + 2i =

3

3π

+i sin

3π

6

π

+i sin

π

2

2

cos

=

8

cos

=

4

3

4 3

4

4

арифм.

значен.

корня

= 6

8

2

+i

2

=

1+i ,

2

2

при k =1

3π

3π

+ 2π

+

2π

3 −2 + 2i = 3 2 2

4

+i sin

4

=

cos

3

3

11π

11π

π

π

3

+i sin

3

=

2

2 cos

=

2

2 −cos

+sin

=

12

12

12

12

π

π

3

3

1+cos

1

−cos

1+

1−

= 3 2 2

−

6

+i

6

=

3 2 2

−

2

+i

2

=

2

2

2

2