Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

(см. № 4.104 (2)). При n ≤ −2 в разложении отсутствует член вида cz−1 , поэтому вычет равен 0. При n = −1

res[ f (z),∞] = −2πki

и при n ≥ 0

res[ f (z),∞] = −c−1 = αn+1 −βn+1 . n +1

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

[3], № 4.79, 4.81 , 4.83, 4.84 , 4.87, 4.88, 4.90 (2), 4.95 .

Резерв:

[3], № 4.91, 4.94, 4.96, 4.97, 4.98, 4.99.

Для самостоятельной работы дома:

[3], № 4.80, 4.82, 4.85, 4.86, 4.90 (1), 4.92 (1), 4.93.

156

11.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

СПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Здесь рассматриваются два типа задач: вычисление интегралов по замкнутому контуру в комплексной плоскости с помощью основной теоремы о вычетах (см. предыдущую тему) и вычисление некоторых действительных определенных интегралов с помощью перехода к комплексной переменной.

Вычисление интегралов по замкнутому контуру

По основной теореме о вычетах

∫ f (z)dz = 2πi∑res[ f (z), zk ] ,

γ k

где zk – изолированные особые точки, находящиеся внутри конту-

ра γ, проходимого в положительном направлении.

В следующих примерах необходимо вычислить интеграл по заданному замкнутому контуру.

Решение. Найдем особые точки подынтегральной функции,

приравняв нулю знаменатель: z4 +1 = 0 , z4 = −1 , z = 4 −1 .

Таких корней четвертой степени, как известно, четыре. Они находятся по формуле

В нашем случае z = −1 , z =1, ϕ = π , n = 4 . Поэтому

iπ(2k +1)

При k = 0 имеем одно из четырех значений корня:

157

Поскольку все корни располагаются на одной окружности радиусом n z (в нашем случае радиус равен 1) с центром в начале

координат и отстоят друг от друга на угол 2nπ (в нашем случае на

угол π2 ), то остальные три значения корня могут быть сразу полу-

чены из геометрических соображений без вычислений:

Контур С представляет собой окружность ( x −1)2 + y2 =1 с центром в точке (1,0) и радиусом R =1 . Поэтому внутри контура находятся только две точки: z0 и z3 . В этих точках функция имеет

z = 2 .

Решение. Особые точки: z = 3 – полюс первого порядка и пять точек zk , равных корню пятой степени из единицы.

158

Пользуясь тем, что сумма вычетов во всей комплексной плоскости и в бесконечности равна нулю, можно сосчитать вычеты в точках, находящихся вне контура С. Интеграл будет равен

∫ f (z)dz = −2πi ∑res (во внешних точках).

С

Вне контура находятся точки z = 3 и z = ∞:

f (z) = z16 + o z16 ,

т.е. ряд Лорана в бесконечности начинается с шестой степени 1z ,

Удобнее считать интеграл по внешним точкам. Это всего одна точка z = ∞. Выделяя главную часть подынтегральной функции при z = ∞, получим

тем самым найдем коэффициент c−1 в разложении функции в ряд

159

z = r .

Решение. В конечной части плоскости подынтегральная функция имеет лишь одну особую точку z = 0 (существенно особая точка). Поэтому независимо от величины радиуса r внутрь контура

попадает только эта точка. Так как функция sin2 1z четная, то ее разложение в ряд Лорана в нуле содержит только четные степени 1z . Поэтому c−1 = 0 , и искомый интеграл равен нулю.

Решение. Внутри контура одна особая точка z = 0 (существенно особая). Разложим подынтегральную функцию в ряд Лорана в этой точке:

отсюда

2n+1 c−1 = (n +1)!

(если n ≥ −1 ) и

При n < −1 c−1 = 0 и интеграл равен нулю.

Пример 11.6 ([3], № 4.123). Вычислить интеграл

Решение. В силу линейных свойств интеграла:

160