Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

= σ0 (x)· f (x) −σ0 (x −2ω)· f ((x + 2ω) − 2ω) ,

то ψ( p) = φ( p) −e−2ωp·φ2ω( p) , где φ2ω( p) f (x + 2ω).

Так как для пер иодической функции f (x + 2ω) = f (x) , то φ2ω( p ) = φ( p) , отсюда следует равенство

ψ( p) = φ( p) −e −2ωp φ( p)

Что и требовалось доказать.

Пр имер 14.13 ([4] № 39 (2, 4)). Найти изображения периодических функций y = f (x) , заданных графиками.

Рис. 14.1

Изображение

Искомое изображение периодической функции f (x) по формуле предыдущего примера:

226

=1 (e−ap −e−3ap ) −(e−2ap ) =

p (1−e−4ap )

=1 e−2ap (eap −e−ap ) −e−3ap (eap −e−ap ) = p (e2ap −e−2ap )e−2ap −e−4ap

4) y = f (x) (рис 14.2). Требуется найти изображение φ( p) периодической функции f (x) с периодом 2а.

227

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

14.1([4], № 3 (2,4,6,8)); 14.2 ([4], № 5 (1,7)); 14.3 ([4], № 6 (1,5));

14.4([4], № 7 (1,3)); 14.5 ([4], № 8 (1,5)); 14.6 ([4], № 12 (1,2));

14.7([4], № 13 (1,5)); 14.8 ([4], № 14 (1)); 14.11 ([4], № 37 (4)).

Резерв:

14.2(3,5), 14.3 (4), 14.4 (4), 14.7 (4), 14.9, 14.10, 14.12, 14.13.

Для самостоятельной работы дома:

14.1([4], №3 (нечетные)); 14.2 ([4], №5 (2,8)); 14.3 ([4], №6 (2,6));

14.4([4], №7 (2)); 14.5 ([4], №8 (2)); 14.6 ([4], №12 (4));

14.7([4], №13 (2)); 14.8 ([4], №14 (3)); 14.11 ([4], №37 (5)).

На дом, на усмотрение преподавателя:

14.5([4], № 8 (6,8)); 14.6 ([4], № 12 (2)); 14.7 ([4], № 13 (6)).

228

15.ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

КРЕШЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

a0 y(n) ( x) +a1 y(n−1) ( x) +... + an y ( x) = f (x) y(0) = y0 ; y′(0) = y1; ... ; y(n−1) (0) = yn−1.

Заранее будем предполагать, что решение y(x) может быть оригиналом для некоторой функции Y ( p) комплексного перемен-

ного р.

Также будем предполагать, что заданная правая часть уравнения

– функция f (x) – имеет своим изображением некоторую функцию F( p) . Поскольку данная задача Коши является линейной, ее реше-

ние является суммой решений двух задач: однородной (при f (x) ≡ 0 ) с данными начальными условиями, и неоднородной, у

которой правая часть f (x) 0, а начальные условия все равны ну-

лю. Рассмотрим вначале однородную задачу:

a0 y(n) ( x) +a1 y(n−1) ( x) +... +an y( x) = 0 , y(0) = y0 ; y′(0) = y1; ... ; y(n−1) (0) = yn−1.

Для решения этой задачи требуется найти фундаментальную систему решений, состоящую из n линейно независимых решений, каждое из которых ψk (x) (k = 0,1, 2,..., n −1) удовлетворяет данному

уравнению и имеет равными нулю все начальные данные, кроме одного ψk (k ) (0) =1, а

ψk (0) = ψ′k (0) =.... = ψk (k−1) (0) = ψk (k+1) (0) =... = ψk (n−1) (0) = 0.

Пусть изображением функции ψk (x) будет функция Yk ( p) , ко-

торая может быть найдена операционным методом. Используя формулу для изображения производной любого порядка из таблицы свойств изображений, получим, умножив уравнение на e− px и проинтегрировав по х от 0 до +∞ (т.е. переходя к изображениям по Лапласу):

229

По этому изображению, с помощью обратного преобразования (преобразования Меллина), которое можно свести к вычислению вычетов в особых точках функции Yk ( p) , т.е. в нулях её знаменате-

ля, находим оригинал.

Таким образом, найдем всю фундаментальную систему, состоящую из функций ψ0 (х), ψ1 ( х) ,..., ψn−1 ( х) . И решение исходной задачи Коши запишется в виде

n−1

y(x) = ∑yk ·ψk (x) ,

k=0

гдеψk (x) – функции фундаментальной системы, а yk – постоянные,

являющиеся начальными данными в задаче Коши. Пример 15.1 ([4], № 49 (3)). Решить задачу Коши:

y ''+2 y '+2 y = 0; y(0) = A; y '(0) = B .

Решение. Фундаментальная система состоит из двух решений: y0 (x) , для которого y0 (0) =1; y0 '(0) = 0 , и y1 ( х) , для которого y1 (0) = 0; y1 '(0) =1 . Найдем каждое из них операционным методом.

230