МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛИСТОВ: КЛАССИЧЕСКИЕ И НЕКЛАССИЧЕСКИЕ РАДИАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
А.С. Ильин*, В.В. Кулагин**, В.А. Черепенин*
*Институт Радиотехники и Электроники Российской Академии Наук,
**Государственный Астрономический институт им. П.К. Штернберга Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Введение
Микроскопические модели классических сред известны давно [1], однако интерес к ним (особенно в последнее время) не ослабевает. Научные акценты в этой проблематике смещены сейчас в сторону численных методов анализа взаимодействия классического электромагнитного поля и заряженных частиц. Задачи подобного типа рассматриваются, например, в физике плазмы, теории ускорителей, микроволновой электронике [2-5]. Различные способы совместного решения уравнений Максвелла и уравнений движения электронов или ионов составляют основное содержание современных моделей классических сред. В зависимости от типа задачи и мощности используемых вычислительных ресурсов трехмерная задача решения уравнений движения может быть редуцирована в шестимерном фазовом пространстве, причем её размерность уменьшается либо в пространстве скоростей, либо в пространстве координат. Таковы, например, довольно часто используемые в релятивистской высокочастотной электронике плоские и аксиально-симметричные 2- и 2.5-мерные модели электронных пучков [6-8]. Как правило, в таких схемах решение самосогласованной задачи может быть существенно упрощено и сведено в основном к решению уравнений движения.
В данной работе рассматривается (3+1)-модель заряженной среды, частицы которой имеют три скорости и одну координату. Эта модель существенно отличается от известной безызлучательной модели заряженных листов, где имеется лишь одна соответствующая координате компонента скорости [5], и может быть применена к более широкому классу задач, в которых излучение играет существенную роль. В частности, получено выражение для поля излучения тонкой заряженной плоскости, совершающей поступательное движение. Найдена сила радиационного трения (самодействия) плоскости и выписаны точные релятивистские уравнения движения с учетом этой силы. Рассмотрена задача о взаимодействии плоскости с электромагнитной волной и найдена сила давления волны на плоскость. Решена задача о генерации третьей гармоники за счет продольных смещений при взаимодействии плоскости с электромагнитной волной. Изучена динамика большого числа плоскостей, взаимодействующих друг с другом и внешней электромагнитной волной.
Предложенная модель использована также для исследования статистики электромагнитного поля, взаимодействующего со слоем электронов. Показано, что при определенных условиях состояния поля могут быть неклассическими. Неклассический свет представляет собой излучение, в котором флуктуации некоторых параметров ниже так называемого стандартного квантового уровня, соответствующего когерентному излучению.
Неклассические состояния электромагнитного поля экспериментально обнаружены уже более тринадцати лет назад [9,10], и в настоящее время интенсивно исследуются возможности применения этих состояний электромагнитного поля, в частности, в области экспериментов с пробными телами, квантовых измерений, систем связи, квантовой криптографии и др. К сожалению, полученные экспериментально коэффициенты сжатия (неклассичности) оказываются весьма скромными. Это связано с тем, что основу большинства методов получения неклассического света составляют нелинейные оптические процессы. Подавление квантовых флуктуаций оказывается, как правило, тем выше, чем выше эффективность нелинейного процесса. Однако, конкурирующие диссипативные эффекты существенно снижают результирующий коэффициент сжатия.
Системы со свободными электронами являются перспективными в плане получения значительных коэффициентов сжатия, так как нелинейность может быть существенной при малой диссипации. Простейшая схема генерации сжатых состояний в электронной среде рассмотрена в работе [11]. При этом использована феноменологическая модель электронных зеркал, в которой коэффициент преломления электромагнитной волны внутри зеркала определялся концентрацией электронов. Однако, такая модель не позволила учесть ряд эффектов, в частности, группировку электронного пучка, взаимодействие электронных зеркал с полем стоячей волны, динамику деформации слоя электронов и др. В разделах 7 и 8 с помощью предлагаемой модели исследуется генерация сжатых состояний электромагнитного поля для режима бегущих и стоячих волн.
1. Одномерное распределение зарядов и токов. Функция Грина и выражения для напряженностей электромагнитного поля
Пусть плотности заряда и тока зависят только от координаты z и времени и не зависят от координат и . В этом случае решения уравнений Максвелла также можно искать в виде функций, не зависящих от и .
В калибровке Лоренца уравнения для потенциалов имеют следующий вид [12]:
(1)
.
Решение уравнений (1) можно представить в виде
, (2)
,
где запаздывающая функция Грина 1-мерного оператора Даламбера , удовлетворяющая уравнению
. (3)
Кроме того, функция Грина должна удовлетворять условию причинности:
при , (4)
которое означает, что возмущение возникает только после начала действия источника.
Решения уравнения (3) с граничным условием (4) можно найти следующим образом [13]. В уравнении (3) разложим и произведение - функций в 2-мерные интегралы Фурье:
(5)
. (6)
Подставляя (5) и (6) в (3), найдем уравнение для фурье-образа :
или
. (7)
Для функции , таким образом, справедливо представление
. (8)
Однако выражение (8) дает только формальное решение уравнения (3), так как не определено правило интегрирования особенностей (8) при . Используя теперь факт, что функция (8) должна удовлетворять условию причинности (4), полагаем
.(9)
Пользуясь известной леммой Жордана из теории функций комплексной переменной, можно показать, что при таком способе интегрирования (8) условие причинности (4) выполнено. При выражение (9) принимает вид
.
Выполняя далее интегрирование по k, можно получить окончательное выражение для функции Грина:
. (10)
Здесь
- ступенчатая функция Хевисайда.
Как можно заметить, для реальных источников электромагнитного поля и уравнения (2) после подстановки в них (10) содержат расходящиеся интегралы. Указанный факт связан с тем, что при представлении решения уравнений (1) в виде (2) обычно предполагают достаточно быстрое убывание и по координате z и времени, в то время как, например, плотность неподвижного заряда не исчезает на временной бесконечности. Эту сложность можно преодолеть следующим формальным приемом. Введем для плотностей заряда и тока некоторый обрезающий множитель - финитную функцию координат и времени, стремящуюся к единице при . Соответствующие уравнения (1) не будут равносильны уравнениям Максвелла, так как уравнение непрерывности для таких зарядов и токов не выполняется. Однако если теперь перейти от потенциалов к напряженностям электромагнитного поля по формулам
(11)
и устремить параметр к нулю, то соответствующие выражения для напряженностей будут удовлетворять уравнениям Максвелла и не будут содержать расходимостей. Используя указанный прием, можно получить следующие выражения для полей и :
(12)
.
Здесь - символ векторного произведения.
Или после интегрирования по имеем
(13)
.
2. Поле излучения тонкой заряженной плоскости
Получим выражение для электромагнитного поля, создаваемого тонкой заряженной плоскостью. Будем полагать, что движение плоскости поступательное. В этом случае для его описания нам понадобятся 3+1 функции времени: три компоненты скорости и одна пространственная координата .
Для бесконечно тонкой плоскости плотности заряда и тока имеют следующий вид:
, (14)
где - поверхностная плотность заряда.
Подставляя теперь выражения (14) в уравнения (12) и интегрируя по и , получим следующие выражения для напряженностей электромагнитного поля:
(15)
где , , - «запаздывающее» время, которое определяется из уравнения .
Заметим, что выражения (15) являются одномерными (или, точнее, 3+1- мерными) аналогами потенциалов Лиенара - Вихерта [9] и дают точное решение задачи о поле, создаваемом бесконечной плоскостью, при этом компонента является продольным полем, а компонента - полем излучения.
В случае, когда плоскость движется перпендикулярно оси 0z (координата Z(t) = постоянна), компонента скорости равна нулю и для продольного поля из формул (15) получаем обычное выражение , а для поля излучения имеем
. (15а)
Анализ выражения (15а) показывает, что поле излучения плоскости пропорционально ее скорости , а не ускорению, как в случае точечного заряда [12]. Указанный факт связан с тем, что полное поле содержит вклады от отдельных точек плоскости. Вклад от каждого источника пропорционален ускорению, однако сигналы из различных точек приходят с запаздыванием, обусловленным конечностью скорости распространения. В результате происходит эффективное интегрирование, и полное поле становится пропорциональным скорости.
Сделаем теперь замечание относительно поведения решений (15) при преобразованиях Лоренца. Напомним, что при выводе уравнений (15) предполагали, что плоскость движется как целое, т.е. в каждый момент времени все точки плоскости имеют одинаковые скорости. Однако в силу относительности одновременности это свойство движения будет нарушено при переходе в другую систему отсчета (если только скорость не равна константе) и предположение о независимости плотностей заряда и тока от новых координат и не будет справедливо. Таким образом, решения (15) не должны обладать ковариантностью относительно преобразований, затрагивающих поперечные координаты. В то же время решение задачи об излучении плоскости должно быть ковариантно относительно преобразований Галилея , справедливых при . Действительно, эти преобразования не затрагивают времени, поэтому распределения зарядов и токов по-прежнему не будут зависеть от x и y.
Однако следует отметить, что выражения для поля, записанные в виде (15), не ковариантны и относительно преобразований Галилея. Если в некоторой системе отсчета плоскость неподвижна (все компоненты скоростей равны нулю) и согласно (15) не излучает, то в системе отсчета, которая движется со скоростью параллельно плоскости, решение (15) описывает однородное и не зависящее от времени поле, направленное против скорости плоскости. Ковариантный относительно преобразований Галилея вид выражений для поля можно получить, если отнять от излучаемой части (15) значение этих полей в момент времени . Таким образом, вместо (15) имеем
(15б)
или, когда компонента равна нулю,
Так как поперечное электрическое поле (15б) отличается от входящего в (15) поперечного поля на слагаемое, не зависящее ни от времени, ни от координаты, то оно также удовлетворяет уравнениям Максвелла и, кроме того, обладает ковариантностью относительно преобразований Галилея.
Далее для простоты будем пользоваться уравнениями (15) вместо (15б), полагая, что плоскость в далеком прошлом покоилась.
3. Сила радиационного трения
В случае точечного заряда задача о нахождении уравнений движения с учетом собственного поля излучения сопряжена с многочисленными трудностями (перенормировка массы, самоускорение и т.д.) [14,15]. Формально эти трудности возникают из-за того, что поле в точке нахождения источника обладает сингулярностью. В отличие от поля точечного заряда решения (15) не содержат сингулярностей, поэтому возможно точно и корректно решить задачу о взаимодействии плоскости с собственным полем излучения. Для этого определим поле в точке . Напряженности электрического и магнитного полей испытывают разрыв на поверхности плоскости, поэтому для корректного определения поля в точке разрыва рассмотрим сначала слой конечной толщины с объемной плотностью заряда . Разбивая его на элементарные слои толщиной и интегрируя их вклады в поле излучения (15), можно найти полное поле. Пусть для определенности левый край слоя находится в точке . При достаточно малых , когда можно пренебречь запаздыванием, для поля излучения внутри слоя () имеем
Так как поле внутри слоя зависит от координаты z линейно, среднее поле будет равно полусумме полей на краях слоя. Устремляя теперь L к нулю, видим, что поля в точке разрыва следует полагать равными
(16)
.
В результате для полей самодействия плоскости имеем
(17)
Отметим, что z-компоненты полей самодействия равны нулю:. Взаимодействие плоскости с полями (17) приводит к появлению эффективной силы самодействия. Ее величина на единицу площади равна или в компонентах