(18)
Уравнение движения плоскости во внешнем однородном по координатам поле , можно записать теперь в виде
, (19)
где - поверхностная плотность массы.
Таким образом, выражение (19) является точным уравнением поступательного движения заряженной плоскости с учетом силы радиационного трения. Учет сил самодействия приводит к появлению эффективной «вязкой» силы с коэффициентом вязкости для поперечного движения. В то же время продольная сила радиационного трения не приводит к продольному радиационному торможению, хотя ее направление и противоположно . Можно показать, что продольная сила не влияет на скорость , так как действие этой силы компенсируется изменением релятивистской массы плоскости вызванным в свою очередь радиационным торможением в поперечном направлении.
4. Взаимодействие электронного листа с плоской электромагнитной волной
Пусть для определенности заряженная плоскость образована тонким слоем электронов, бесконечно протяженным в x и y направлениях. Такую структуру будем называть электронным листом. Если электроны в процессе движения все время образуют плоский лист с постоянной поверхностной плотностью , то уравнения движения для отдельного электрона этого листа в однородных по x и yполях при учете (19) имеют вид
, (20)
Здесь - релятивистский импульс электрона, и - масса и заряд электрона.
Это приближение будет справедливо, если изменением конфигурации плоского электронного листа можно пренебречь, что возможно в течение ограниченного времени при достаточно малой концентрации электронов либо в присутствии ионного фона, когда силы кулоновского расталкивания скомпенсированы. В то же время концентрация электронов должна быть достаточной для того, чтобы считать заряд непрерывно распределенным по листу.
Следует отметить, что эта же модель может быть применена и к листу конечных размеров, если время прибытия сигнала с краев существенно больше характерных периодов процесса :
, (21)
где - размер листа в направлениях x и y.
Пусть теперь на электронный лист, расположенный в точке , падает плоская электромагнитная волна:
, (22)
где - комплексная амплитуда напряженности электрического поля волны, - волновой вектор, направленный вдоль оси Oz. Тогда при уравнение (20) на частоте имеет вид , откуда получим следующее выражение для комплексной амплитуды скорости :
, (23)
где и для поля, излучаемого листом, из выражения (15а) имеем
. (24)
Нетрудно показать, что при происходит полное отражение электромагнитной волны от листа. Действительно, для поля излучения справа от него имеем
,
и полное поле равно нулю, в то время как поле слева описывается выражением
и полное поле представляет собой стоячую волну
Найдем теперь среднюю по периоду поля силу давления, возникающую при взаимодействии электромагнитной волны с плоским электронным листом. Если при взаимодействии точечного заряда с плоской электромагнитной волной не учитывать радиационные потери, то движение заряда будет происходить по замкнутой траектории [12], т.е. средняя по периоду сила давления волны на электрон равна нулю. Поэтому для вычисления силы давления принципиально необходимо учитывать радиационное трение (самодействие плоскости). Пусть опять на электронный лист перпендикулярно плоскости падает электромагнитная волна. В направлении оси Oz на электрон действует сила Лоренца , которая и определяет величину силы давления. Если в выражении (23) не учитывать член, связанный с радиационным трением (полагать =0), то разность фаз скорости и магнитного поля будет составлять четверть периода, т. е. сила давления будет содержать только вибрационные члены на двойной частоте падающей волны.
Используя полное выражение для скорости электронов (23) с учетом силы радиационного трения, получим следующее выражение для средней по периоду силы Лоренца, действующей на один электрон:
. (25)
Интересно отметить, что выражение (25) имеет максимум при . Физический смысл существования этого максимума состоит в том, что при средняя сила давления на электрон равна нулю. При увеличение радиационного трения приводит к тому, что электроны остаются практически неподвижными (). Ввиду того, что сила давления (25) обусловлена силой Лоренца, также стремится к нулю вместе со скоростью. Таким образом, сила (25) как непрерывная функция параметра должна иметь максимум. Отметим теперь, что сила давления на единицу площади связана с силой давления на один электрон (25) соотношением , где - поверхностная концентрация электронов. С учетом (25) имеем . Таким образом, сила давления на единицу площади максимальна при выполнении условия полного отражения волны от электронного листа ().
Рассмотрим теперь отражение плоской электромагнитной волны от электронного листа в присутствии однородного магнитного поля с напряженностью . Пусть для простоты магнитное поле параллельно оси Oz. Удобно ввести следующие комплексные переменные:
(26)
(x и y-компоненты векторов предполагаем вещественными). Рассматривая для определенности электромагнитную волну с круговой поляризацией, запишем для нее следующие выражения:
. (27)
Уравнения движения электронов (20) на частоте в нерелятивистском приближении имеют вид
, (28)
где - продольная координата листа (здесь снова полагаем ).
Далее для поперечной скорости имеем
, (29)
где - циклотронная частота вращения электронов.
Для поля излучения листа из (15) и (29) найдем
. (30)
В результате для прошедшей и отраженной волн получим следующие выражения:
(31)
Как и следовало ожидать, в точке циклотронного резонанса при происходит полное отражение волны от листа:
. (32)
Отметим, что в этом случае коэффициент отражения волны не зависит от концентрации электронов, так как при циклотронном резонансе амплитуда скорости становится обратно пропорциональной , а поле излучения (15) содержит произведение поверхностной плотности на скорость.
Подсчитаем теперь силу давления, которое оказывает волна на один электрон тонкого электронного листа в присутствии однородного магнитного поля. Для силы Лоренца, возникающей при взаимодействии электронов с магнитной составляющей волны круговой поляризации, справедливо выражение или при использовании (27) . Здесь в отличие от рассмотренного ранее случая линейно поляризованной волны стоит точная сила, неусредненная по периоду колебаний электронов.
Используя теперь (27) и (29), запишем окончательное выражение для силы давления на плоскость в присутствии продольного магнитного поля:
. (33)
В точке циклотронного резонанса сила (33) растет при уменьшении плотности вследствие того, что амплитуда скорости в этом случае также растет.
6. Учет продольных смещений электронного листа. Генерация третьей гармоники
Рассмотрим теперь точные релятивистские уравнения движения электронного листа в поле электромагнитной волны. Пусть для напряженностей электрического и магнитного полей волны справедливы выражения , а остальные компоненты равны нулю. Уравнения движения электронного листа (20) имеют следующий вид:
(34)
где - релятивистская скорость электронов, - ускорительный параметр.
Считая малой величиной, будем искать решения уравнений (34) методом последовательных приближений, т.е. представим их в виде ряда:
, (35)
где члены пропорциональны n-й степени параметра .
Подставляя разложения (35) в (34) и группируя члены одинакового порядка малости по , можно получить систему связанных уравнений для функций . Решения (34) в нулевом приближении имеют вид
(36)
Уравнения для первого приближения
(37)
на частоте имеют решения
, (38)
где
(39)
- фазовая задержка. Выражения (38),(39) тождественны (23). Таким образом, полученные в разд.4 решения справедливы в линейном приближении по ускорительному параметру . Далее для второго приближения имеем
, (40)
откуда , а для продольного движения получаем
Здесь первое слагаемое описывает быстрые осцилляции на двойной частоте, а второе - медленный дрейф под действием силы давления (25). Будем полагать, что сила давления скомпенсирована действием некоторой внешней силы и рассматривать только быстрые осцилляции. В результате для продольной скорости и координаты получим следующие выражения:
, (41)
. (42)
Далее нам понадобится кубическая поправка к поперечной скорости . Уравнение для запишем в виде
Здесь первые два слагаемых возникают из-за продольного движения листа, а последнее слагаемое описывает релятивистские поправки. Интегрируя это уравнение по времени, получим для следующее выражение:
(43)
Выражение для запаздывающего времени с точностью до имеет вид
. (44)
Поле излучения можно представить теперь в виде суммы линейного по (24) и кубичного слагаемых, причем последнее связано с продольными осцилляциями листа и релятивистскими поправками. Для кубичного слагаемого справедливо представление
, (45)
где излучение на частоте имеет вид
· излучение на частоте .
Верхний знак относится к отраженной волне, нижний знак - к прошедшей. Таким образом, продольные колебания листа приводят к генерации третьей гармоники как в прошедшей, так и в отраженной волне. Нетрудно показать, что если пренебречь временной дисперсией электронной среды и релятивистскими поправками, третьей гармоники в прошедшей волне не будет, а в отраженной волне она сохранится.
7. Генерация сжатых состояний электромагнитного поля при падении световой волны на тонкий электронный слой
Пусть на тонкий электронный слой, находящийся в потенциальной яме с жесткостью , падает плоская электромагнитная волна в когерентном состоянии [16] следующего вида:
, (46)
где - амплитуда поля накачки (для определенности действительная), - комплексная амплитуда шума, - квадратурные компоненты шума [17].
При падении такой волны на электронный слой возникает сила давления согласно выражению (25), квадратично зависящая от амплитуды падающей волны. Эта сила давления вызывает смещение слоя в потенциальной яме, т. е. изменяется координата плоскости, и появляется дополнительное запаздывание отраженной волны. В результате возникает квадратичная зависимость фазы отраженной волны от амплитуды падающей.
Пусть для простоты параметр достаточно большой. В этом случае происходит полное отражение, и из выражения (24) получаем для поля отраженной волны:
, (47)
где - смещение слоя под действием силы давления. При больших значениях параметра выражение для силы давления в линейном приближении по шумам принимает следующий вид:
. (48)
Положение слоя можно определить из равенства (перемещения плоскости вдоль оси z считаются квазистатическими). Тогда для комплексной амплитуды шумов в отраженной волне с точностью до постоянного фазового множителя имеем:
, (49)
где . Из выражения (49) следует, что квадратурные компоненты шума в отраженной волне коррелированы, причем коэффициент корреляции тем больше, чем больше параметр . Чтобы продемонстрировать, что отраженная волна находится в сжатом состоянии [16], введем новые квадратурные компоненты, "повернутые" на угол f относительно старых ("повернем" комплексную амплитуду (49) на угол f ), причем величину f выберем из условия, чтобы спектральная плотность действительной части новой амплитуды принимала минимальное значение. В результате имеем:
, (50)
где - спектральная плотность квадратурных компонент поля в когерентном состоянии. Из выражения (50) следует, что при справедлива следующая асимптотика
, когда .
Таким образом, коэффициент сжатия поля может быть сколь угодно большим в рамках использованной модели.
Потенциальная яма для электронов может быть образована, например, двумя заданными встречными волнами одинаковой амплитуды и частоты . Действительно, сумма двух таких волн образует стоячую волну. При взаимодействии электронного облака со стоячей волной происходит группировка электронов. Для напряженностей электрического и магнитного полей стоячей волны имеем:
. (51)
Для решения уравнений движения электронов в поле такой волны воспользуемся дрейфовым приближением [18], т.е. представим движение электронов как сумму быстрых осцилляций вдоль оси Oy и медленный дрейф вдоль оси Oz. Дрейфовая составляющая радиуса-вектора электронов определяется усредненной по периоду быстрых колебаний силой Лоренца . Используя тождество: , где , для средней силы Лоренца получим следующее выражение:
.
Используя выражение (23) получаем окончательно:
, (52)
где .
Положение устойчивого равновесия электронов определяется равенством , откуда следует, что центр эффективной потенциальной ямы находится в узле электрической составляющей стоячей волны . Разлагая выражение (52) в ряд по вблизи , для эффективной жесткости потенциальной ямы получим: