. (53)
Следует отметить, что в отсутствии падающей на слой электромагнитной волны электроны, находящиеся в узлах электрического поля стоячей волны, не излучают.
8. Генерация сжатых состояний при взаимодействии с полем стоячей волны
Посмотрим теперь, нельзя ли получить сжатое состояние электромагнитного поля только за счет взаимодействия тонкого электронного слоя с полем стоячей волны.
Пусть на электронный слой падают две встречные волны с произвольными комплексными амплитудами.
. (54)
Проводя вычисления, аналогичные пункту 6, получим для средней дрейфовой силы вдоль оси Oz:
. (55)
Первый член в выражении (55) описывает динамическое давление за счет разности амплитуд волн, второй - эффекты группировки ( ср. выражения (25) и (52) ).
Пусть теперь , где - амплитуда накачки, а - комплексные амплитуды шумов, идущих, соответственно, слева и справа:
.
Из выражения (55), в линейном приближении по шумам, имеем для силы вдоль оси Oz:
(56)
В результате, в том же приближении, для положения устойчивого равновесия электронов получим:
. (57)
Снова используя выражение (24) с полем вида
,
получим для поля излучения, уходящего вправо от плоскости:
. (58)
Для поля излучения, уходящего влево от плоскости , имеем:
. (59)
Поэтому для полного шума справа и слева от плоскости имеем, соответственно:
. (60)
Из выражения (60) следует, что квадратурные компоненты уходящего вправо и влево излучения коррелированы. Опять вводя новые квадратурные компоненты, как и в пункте 6, для минимальной спектральной плотности получим:
. (61)
Оптимизация выражения (61) по параметру показывает, что минимальная спектральная плотность одной из квадратурных компонент уходящего вправо и влево от плоскости излучения всегда оказывается не меньше чем /2. Таким образом, максимальный коэффициент сжатия оказывается меньше 2.
Следует, однако, отметить, что помимо корреляции квадратурных компонент отдельно для излучения, уходящего вправо, и для излучения, уходящего влево, из выражений (60) следует, что имеется также перекрестная корреляция квадратурных компонент. Для использования этой перекрестной корреляции необходимо смешать на дополнительном полупрозрачном зеркале волны, уходящие вправо и влево от плоскости, причем для каждой волны надо выбрать соответствующую фазовую задержку. Пусть для определенности задерживается относительно на угол , а и - коэффициенты отражения и прохождения для волн и соответственно, связанные соотношением (для определенности и выбраны действительными, так как их фаза всегда может быть учтена введением дополнительных задержек). В результате после смешения на полупрозрачном зеркале имеем для комплексной амплитуды на одном из выходов:
(62)
Для спектральной плотности одной из квадратурных компонент имеем:
. (63)
В выражении (38) параметры , и являются свободными, т. е. по ним должна быть проведена оптимизация. В общем случае аналитически провести оптимизацию оказывается затруднительно. Однако следует учесть, что коэффициент корреляции квадратурных компонент оказывается согласно выражению (60) тем больше, чем больше параметр , поэтому сильного сжатия поля также следует ожидать для больших . Нетрудно показать, что в этом случае одним из возможных наборов параметров , и является
.
Тогда плотность квадратурной компоненты имеет асимптотику:
, (64)
т. е. коэффициент сжатия неограниченно растет с ростом .
9. Взаимодействие электронного слоя конечной толщины с плоской электромагнитной волной
Рассмотрим взаимодействие слоя конечной толщины с электромагнитным полем. Разобьем его на тонкие электронные листы толщиной . Состояние слоя будем описывать переменными Лагранжа: -продольное смещение листа, первоначально находившегося в точке ; - его продольная скорость, и - поперечная скорость. Таким образом, в качестве индекса, нумерующего листы, будем использовать его начальную координату . Запишем систему уравнений, описывающую эволюцию первоначально однородного слоя, с объемной плотностью. Для отдельного электрона, принадлежащего листу с индексом , запишем релятивистское уравнение движения:
(65)
где
(66)
- релятивистский импульс электрона, - электрическое и магнитное поля, создаваемые остальными листами вдоль траектории электрона, принадлежащего листу с индексом . Используя выражение (15) для поля отдельного листа, получим
, (67)
-запаздывание по времени при взаимодействии листов и , определяемое из уравнения
, (68)
- внешние поля, также рассматриваемые вдоль траектории листа .
Система уравнений (65)-(68), дополненная начальными условиями, имеет единственное решение, описывающее эволюцию всего слоя. Уравнения (65)-(68) имеют довольно сложную структуру и, по-видимому, не допускают точного аналитического решения. Однако можно рассмотреть некоторые предельные случаи. Если мы, например, пренебрежем поперечными колебаниями электронов, полагая , то получим известную безызлучательную модель листов, которую успешно используют в физике плазмы [6].
Рассмотрим более подробно взаимодействие слоя электронов толщиной L с плоской электромагнитной волной . Как показано в разделе 5, в линейном по приближении можно рассматривать только поперечные колебания электронов в поле электромагнитной волны, полагая .Пусть - поперечная скорость листа толщины , с поверхностной плотностью заряда ( - объемная плотность) находящегося в точке . Система (65)-(68) в линейном по приближении будет сведена к следующему интегро-дифференциальному уравнению для поперечной скорости :
.(69)
Выражение в правой части есть полное поле в точке , умноженное на заряд электрона. Будем искать решение (69) в виде . Тогда для получим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:
.(70)
При его решении поступим следующим образом. Продифференцируем левую и правую части уравнения (70) по переменной z и умножим их на . В результате получим:
. (71)
Складывая теперь (70) с (71), имеем:
или после повторного дифференцирования по z и приведения подобных слагаемых
. (72)
Общее решение уравнения (72) имеет вид
, , (73)
где , -плазменная частота, - некоторые комплексные коэффициенты, -комплексная проводимость. Это решение представляет собой сумму двух встречных волн с фазовыми скоростями , в соответствии с известными результатами [19]. Коэффициенты и однозначно определяются после подстановки (73) в уравнение (70). Таким образом, уравнение (70) автоматически содержит условия сопряжения на границах слоя для прошедшей и отраженной волн. Для учета влияния продольных смещений как и в разделе 5 следует решить с точностью до уравнения движения листов в поле линейного приближения и затем при использовании (15) просуммировать вклады от отдельных листов. В результате можно получить поправку к полю порядка .
Рассмотрим теперь взаимодействие слоя конечной толщины с плоской электромагнитной волной круговой поляризации в присутствии однородного магнитного поля , параллельного оси 0z. Снова будем полагать . Уравнение для поперечной скорости листа, находящегося в точке z , имеет теперь вид
(74)
Его решение можно найти тем же методом, что и решение уравнения (70). В результате получим выражение (73) со следующим параметром :
. (75)
Проанализируем случай точного циклотронного резонанса . Уравнение (74) сводится к виду
. (76)
Можно показать, что уравнение (76) не имеет регулярных решений. Действительно, в точке циклотронного резонанса происходит полное отражение волны от листа с произвольной поверхностной плотностью (см. (32)). Поэтому в рассматриваемом случае полное отражение происходит от самого первого листа исследуемого слоя несмотря на то, что поверхностная плотность его зарядастремится к нулю вместе с . Из формулы (29) следует также, что амплитуда скорости этого листа неограниченно растет. Поэтому решение уравнения (76) следует искать в виде
. (77)
Подставляя (77) в (76) и принимая для получим
. (78)
Разумеется, решение (78) имеет формальный характер в силу того, что время установления стационарного режима при резонансе будет стремиться к бесконечности. Заметим, что выражение (78) можно получить и непосредственно из (29), если формально полагать и .
Заключение
электронный лист радиационный электромагнитный
Полученные результаты могут быть использованы для многих электродинамических задач, имеющих допустимый тип симметрии среды и электромагнитного поля. Таковы, например, конфигурации, возникающие в теории лазеров на свободных электронах [20], в задаче о генерации сжатых состояний электромагнитного поля [9,10], в теории отражения сверхмощной электромагнитной волны от плазменного слоя [21,22]. В последнем случае рассмотренная модель справедлива как для нормально, так и наклонно падающей волны. Для этого достаточно совершить переход в движущуюся систему отсчета, в которой тангенциальная компонента волнового вектора равна нулю [23].
Следует отметить, что система уравнений (65)-(68) является полной (в рамках модели) и учитывает как кулоновские, так и радиационные процессы. В отличие от известных численных (3+1) - моделей [22] в предлагаемой схеме решения самосогласованной задачи взаимодействия электронной среды и поля явно вычислены силы взаимодействия между листами, что позволяет рассматривать только уравнения движения и значительно сократить объем вычислений при численном моделировании.
Кроме того, предлагаемая модель допускает сравнительно простые аналитические решения в виде ряда по степеням амплитуды внешнего поля. Так, в задаче о падении волны на плоский электронный слой (или среду с известным показателем преломления) в линейном приближении получаются известные классические решения [19], а первая нелинейная поправка описывает генерацию третьей гармоники в отраженной и прошедшей волнах.
Использование модели электронных листов в задачах генерации неклассических состояний электромагнитного поля показало, что сжатие электромагнитной волны при взаимодействии с электронной средой может быть существенным при высокой концентрации электронов. Однако, для пучков концентрация оказывается небольшой, поэтому для повышения коэффициента сжатия можно располагать несколько электронных зеркал друг за другом, или использовать резонаторные схемы.
Достоинством предложенной модели является также то, что она позволяет исследовать взаимодействие электромагнитной волны с электронной средой с учетом быстроосциллирующих членов на двойной частоте волны. В этом случае может быть реализован режим оптического вырожденного параметрического усилителя с большим коэффициентом сжатия выходного поля.
Литература
1. Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения: пер. с англ. М.: Наука, 1953.
2. Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы: пер. с англ. под ред. Рухадзе А.А. М.: Мир, 1996.
3. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц: пер. с англ. под ред. Коломенского А.А. М.: Мир, 1980.
4. Бугаев С.П., Канавец В.И., Кошелев В.И., Черепенин В.А. Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы. Новосибирск: Наука, 1991.
5. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979.
6. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование: пер с англ. под ред. Рухадзе А.А. М.: Энергоатомиздат, 1989.
7. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: пер. с англ. под ред. Сагдеева Р.З. и Шевченко В.И. М: Мир, 1987.
8. Канавец В.И., Черепенин В.А. // РЭ. 1975. Т.20. N.12. С. 2539.
9. Slusher R. E., Hollberg L. W., Yurke B., Mertz J. C., Valley J. F. // Phys. Rev. Lett., 1985, V. 55. P. 2409.
10. Wu L.-A., Kimble H. J., Hall J. L., Wu H. // Phys. Rev. Lett., 1996, V. 67. P. 2520.
11. Кулагин В. В., Черепенин В. А. // Письма в ЖЭТФ, 1996. Т.63. С. 160
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1967.
13. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов А.В. Квантовая электродинамика. М.: Изд-во МГУ,1983.
14. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М.: Наука,1974.
15. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1987.
16. Клышко Д. Н. Физические основы квантовой электроники. // М.: Наука, 1986, С. 130.
17. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С.. Введение в статистическую радиофизику и оптику. // М.: Наука, 1981. С. 203.
18. Миллер М.А. //Известия вузов, сер. Радиофизика, 1958, Т.1, N 3, с. 110-123.
19. Борн М., Вольф И. Основы оптики: пер. с англ. под ред. Мотулевич Г. П. М.: Наука, 1970.
20. Генераторы когерентного излучения на свободных электронах./ Под ред. Рухадзе А.А. М.: Мир, 1983.
21. Von der Linde D., Rzazewski K. // Appl. Phys. B. 1996.V. 63. P.499.
22. Lichters R., Meyer-ter-Vehn J., Pukhov A., // Phys. Plasmas. 1996. V.3 №9. P.1714.