Материал: Муравев Инженерная олимпиада школников 2016

стороны валков (силой тяжести, действующей на заготовку, пренебрегаем по сравнению с этими силами). Причем благодаря вращению валков сила трения будет «затягивать» заготовку в пространство между валками, сила реакции – отталкивать от валков. Поэтому очевидно (см. также рисунок), что заготовка будет протягиваться между валками, если проекция действующей на нее силы трения на ось x будет больше проекции на эту ось силы реакции

Fтр cosα≥ N sin α

или

μ ≥ tg α

(где α – угол между направлениями на точку касания валка и заготовки и на центр второго валка). Очевидно,

d −2d0 = R(1−cosα) .

Выражая косинус через тангенс

найдем значения коэффициента трения, при котором заготовка втягивается в пространство между валками

При втягивании заготовки, она начинает деформироваться валками, это приводит к росту силы реакции, но одновременно растет

исила трения, поэтому заготовка будет продолжать втягиваться.

3.4.Представим себе, что у нас есть двигатель, неважно какой – электрический, тепловой, или какой-то другой – который дает вращение некоторому валу (оси вращения). А нужно нам обеспечить движение какого-то тела вдоль прямой линии сначала в одном, а потом в обратном направлении. Или, другими словами, как преобразовать вращательное движение в возвратно-поступательное. Например, мы хотим сконструировать робота, который бы ходил как человек. Понятно, что в основе его движений будет двигатель,

61

дающий вращательное движение, но ноги робота должны двигаться вперед-назад. Такого рода вопросы, связанные с преобразованием одного вида движения в другое, активно обсуждались математиками конца 19 века в связи с активным развитием двигателестроения, первыми автомобилями и т.д. Рассмотренный в задаче шарнирный механизм был предложен учеником выдающегося российского математика П.Л. Чебышева Л. Липкиным и французом Ш. Посселье и называется сейчас механизм Липкина–Посселье (или прямило Липкина). Этот механизм позволяет преобразовать вращательное движение в движение по прямой, причем точное и без использования каких-либо направляющих (как в кривошипношатунном механизме). Механизм Липкина–Посселье сыграл важную роль в исследовании свойств шарнирных передач, однако в технике особых применений не нашел, поскольку ко времени его открытия были созданы хорошие смазочные материалы, позволяющие делать такое преобразование движения с использованием направляющих (как в кривошипно-шатунном или кривошипноползунном механизме).

62

Докажем, что при вращении механизма ABCMN вокруг точки А (при условии, что точка M движется по окружности) точка механизма N движется точно по прямой. Пусть радиус окружности, по которой движется точка M, равен R, AB = AC = L , MB = MC =l (см. рисунок). Найдем расстояние AN . Если MO = x , то

L2 −(2R + x)2 =l2 − x2 .

Отсюда находим

=L2 −l2 −

xR .

4R

Поэтому

Повернем теперь всю конструкцию на некоторый угол α вокруг точки A (но так, что точка M движется по пунктирной окружности; см. рисунок). Найдем новое положение точки N (на рисунке оно обозначено как N ′). Если M ′O′= x′, то

Но поскольку угол AM ′M – прямой (опирается на диаметр AM пунктирной окружности), то AM ′ = 2R cos α , и, следовательно,

AN ′= 4R cosα .

Поэтому точка N ′ шарнирного механизма будет проецироваться в такую точку на прямой AN , которая лежит на расстоянии

63

от точки A, т.е. в точку N, как это следует из сравнения (1) и (2). Таким образом, точка N ′ будет проецироваться в точку N при повороте шарнирного механизма на любой угол. Это значит, что эта точка будет двигаться по прямой, перпендикулярной отрезку AN и проходящей через точку N. Другими словами, при вращении всей конструкции вокруг точки A ее точка N движется по прямой.

3.5. Обсудим сначала вопрос о роли силы трения в движении машины. Представим себе, что водитель машины, стоящей на глад- ком-гладком льду (сила трения между колесами и льдом отсутствует), нажимает на педаль газа. Что будет происходить? Ясно, что машина ехать не будет: колеса будут вращаться, но будут пробуксовывать относительно льда – ведь трения-то нет. Причем это будет происходить независимо от мощности двигателя. А это значит, что для того, чтобы мощность двигателя использовать, нужно трение – без него машина не поедет.

Что же происходит, когда сила трения есть. Пусть сначала она очень маленькая, а водитель стоящей машины снова нажимает на педаль газа? Колеса (речь сейчас идет о ведущих колесах автомобиля, допустим это передние колеса) проскальзывают относительно поверхности (трение – маленькое), вращаясь так, как показано на рисунке, но при этом возникает сила трения, действующая со стороны дороги на колеса, направленная вперед по ходу движения машины. Она и толкает машину вперед.

Fтр

Если сила трения большая, то при плавном нажатии на педаль газа колеса начинают вращаться, и как бы отталкиваются от шероховатостей дороги, используя силу трения, которая направлена вперед. При этом колеса не проскальзывают, а катятся по дороге, так, что нижняя точка колеса не перемещается относительно полотна. Иногда и при большом трении колеса пробуксовывают. Наверняка, вы сталкивались с ситуацией, когда какой-нибудь «сума-

64

сшедший водитель» так трогается при включении зеленого сигнала светофора, что колеса «визжат», а на дороге остается черный след из-за скольжения резины по асфальту. Итак, в экстренной ситуации (при резком торможении или трогании с побуксовкой) колеса скользят относительно дороги, в обычных случаях (когда на дороге не остается черного следа от стирающихся покрышек) колесо не скользит, а только катится по дороге.

Итак, если машина едет равномерно, то колеса не скользят по дороге, а катятся по ней так, что нижняя точка колеса покоится (а не проскальзывает) относительно дороги. Как в этом случае направлена сила трения? Сказать, что противоположно скорости машины – неверно, ведь говоря так про силу трения, подразумевают случай скольжения тела относительно поверхности, а сейчас у нас скольжения колес относительно дороги нет. Сила трения в этом случае может быть направлена как угодно, и мы сами определяем ее направление. И вот как этопроисходит.

Представим себе, что нет никаких препятствующих движению машины факторов. Тогда машина движется по инерции, колеса вращаются по инерции, причем угловая скорость вращения колес связана со скоростью движения машины. Установим эту связь. Пусть колесо движется со скоростью v и вращается так, что нижняя точка колеса не проскальзывает относительно дороги. Перейдем в систему отсчета, связанную с центром колеса. В ней колесо как целое не движется, а только вращается, а земля движется назад со скоростью v . Но поскольку колесо не проскальзывает относительно земли, то его нижняя точка имеет такую же скорость как земля. А значит, и все точки поверхности колеса вращаются относительно центра со скоростью v и, следовательно, имеют угловую скорость ω=v / R , где R – радиус колеса. Переходя теперь назад в

65