Материал: Муравев Инженерная олимпиада школников 2016
t = |
|
2h |
=103 с. |
|
10−2 g |
||
2 |
|
||
Для оценки пройденного спутником расстояния нужно его орбитальную скорость (первую космическую) умножить на время падения. Получим
S = vt =8 км/с 103 c 8000 км.
Поскольку окружность Земли составляет около 40000 км, то спутник пролетит приблизительно пятую часть окружности.
Отметим, что эта оценка справедлива только при небольших высотах спутника над поверхностью Земли (когда пройденное спутником расстояние составляет меньше полного оборота). Действительно, если радиус орбиты спутника меняется значительно, проекция его скорости на направление, перпендикулярное радиусу, будет сильно отличаться от первой космической скорости, орбита спутника будет «вытягиваться», и проведенное рассмотрение станет неверным. В нашем примере это условие выполняется, поскольку изменение радиуса орбиты – 100 км много меньше самого радиуса – 6400 км.
4.1. Математический анализ дорожного движения, и в частности, динамики автомобильных пробок позволяет организовать движение так, чтобы эти самые пробки минимизировать. Рассмотрим вопрос о влиянии светофора на пробку в связи с неодновременным троганием машин с места.
Очевидно, что отличие скорости перемещения машин в «пробке» от u / 2 («пополам», поскольку половину времени светофор закрыт) связано с тем, что машины трогаются не одновременно. Каждая машина начинает движение после того, как машина впереди уже поехала, т.е. с некоторой задержкой по времени по сравнению с предыдущей машиной. Это время задержки связано со многими причинами: реакция водителя, время включения коробки переключения передач, время разгона и т.д. Конечно, для каждого водителя и для каждой машины эта величина индивидуальная, но для расчета средней скорости перемещения машин через перекресток можно взять среднее значение этой величины и считать, что после того как включается зеленый сигнал светофора по «пробке» с определенной скоростью идет «волна трогания» машин. Пусть ско-
71
рость этой волны c (это значит, что машина, расположенная на расстоянии x от светофора, тронется через время x / c после включения зеленого сигнала), время горения зеленого сигнала светофора t . Тогда за это время мимо светофора успеет проехать участок «пробки» с такой длиной l , что «волна трогания» за время t успеет дойти до его конца, а машина, находящаяся в его конце, успеет доехать до светофора
cl + ul = t ,
где u – скорость машины (согласно с условием считаем, что как только машина тронулась, она имеет скорость u). Отсюда находим, что средняя скорость машин в «пробке» равна
v = |
|
l |
= |
|
cu |
. |
(*) |
|||
2 |
t |
2(c +u) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
Из (*) находим |
|
|
|
2uv |
|
|
|
|
||
|
c = |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
. |
|
(**) |
||||||
|
u −2v |
|
||||||||
Если скорость машин увеличивается вдвое, то средняя скорость машин в «пробке» можно найти по формуле (*) с заменой u → 2u
v′ = |
2cu |
|
2(c + 2u) . |
(***) |
Подставляя в формулу (***) скорость «волны трогания» (**), получим
v′= uuv−v =1,2 м/с.
Это значит, что увеличение скорости машин в 2 раза увеличивает пропускную способность перекрестка всего на 20 %.
4.2. Пусть мощность нагревателя равна P. В установившемся режиме все тепло, выделенное нагревателем, должно уходить через
1 Здесь содержится очевидный частный случай – если c = ∞ (машины трогаются одновременно), v = u / 2 из-за того, что машины едут половину времени –
время горения зеленого сигнала равно времени горения красного.
72
стены (если бы уходило меньше, дом нагревался, если больше – охлаждался). Поэтому
P = |
λ(t1 −t0 )S |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где λ – коэффициент теплопроводности кирпича; |
l |
– |
толщина |
|||||||
кирпичной стены; S – площадь стен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После установки теплоизолирующего |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
материала внутри дома поток тепла через |
|
|
|
|
|
|
|
|||
стены останется неизменным (внутри до- |
t0 |
|
t1 |
t0 |
|
|
t2 |
|||
ма работает тот же нагреватель); не изме- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
нилась и температура на улице. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|||
температура внутренней поверхности |
|
|
|
|
t |
1 |
|
|||
кирпичной стены не изменилась. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
||
температура в доме после установки теплоизолирующего материала стала равна t2 . Тогда поток тепла через теплоизолирующий материал, с одной стороны, определяется законом Фурье
(λ /10)(t −t )S
(l /15) .
Сдругой стороны, этот поток равен потоку через кирпичную стену. Поэтому 2 1
λ(t1 −t0 )S |
= |
(λ /10)(t2 −t1 )S |
. |
l |
( l /15) |
Отсюда
t2 =t1 + 23 (t1 −t0 )=15 °С,
где располагать теплоизолятор – внутри или снаружи – с точки зрения теплоизоляции совершенно не важно, если пренебречь изменением площади теплопередающей поверхности теплоизолятора. Температура в доме будет такой же. Действительно, в установившемся режиме поток тепла, который определяется разностью температур двух поверхностей стены и теплоизоляции и площадями их поверхностей, равен мощности внутреннего источника тепла. Поэтому разности температур двух поверхностей стены и теплоизоляции не зависят от расположения теплоизоляции – внутри или
73
снаружи дома. Поэтому и разность температур – «улица-дом» не зависит от порядка расположения теплоизолятора.
4.3. Из условия моментов относительно шарнира, находим mg 2l =Th ,
где T – сила натяжения троса. Отсюда находим
T = mgl2h = 4mg .
Сила, действующая на балку со стороны шарнира, должна компенсировать равнодействующую сил тяжести mg и силы T = 4mg .
Поэтому суммарная сила, действующая на балку со стороны шарнира (и на шарнир со стороны балки), равна
N = 17mg .
4.4. Определим сначала, на каком участке вольтамперной характеристики работает трубка. Если бы она содержала только линейный участок (без насыщения), то трубка обладала бы сопротивлением, которое можно найти из графика,
R = UI =101мкАкВ =108 Ом.
При таком сопротивлении ток в цепи определялся бы законом Ома для замкнутой цепи
I = |
ε |
= |
6 103 В |
=15 |
мкА. |
||
R + r |
4 108 |
Ом |
|||||
|
|
|
|
||||
Но это значение больше тока насыщения через трубку, поэтому ток в цепи будет равен току насыщения I0 =10 мкА. В этом случае
напряжение на балластном резисторе будет равно I0r = 3 103 В. Поэтому напряжение на трубке будет равно U =ε − I0r =3 103 В. Итак, ток через трубку равен I0 =10 мкА, напряжение на трубке –
U=3 103 В.
4.5.Планетарная передача работает таким образом, что вращение с центральной (солнечной) шестерни передается одновременно
74
водилу и коронной шестерне, причем кинематически распределение вращения между ними не определяется (недостаточно кинематических связей). Это позволяет в зависимости от момента торможения коронной шестерни и водила передавать им разное вращение. Такая передача вращения происходит в дифференциалах автомобилей (особый шарнир, дающий определенную «автономию» колесам автомобиля и передающий мощность правому и левому колесам по-разному в зависимости от условий движения колес) и в автоматических коробках передач.
4ω
ω
ωR
8ωR
Рассмотрим работу планетарной передачи. Во-первых, заметим, что поскольку шестерни друг относительно друга не проскальзывают (зубчатое зацепление), линейные скорости точек на поверхностях шестерен совпадают.
Пусть центральная (солнечная) шестерня вращается с угловой скоростью ω, а ее радиус R. Тогда линейная скорость точек на поверхности солнечной шестерни равна ωR ; такой же является и линейная скорость точек на поверхности шестерен-спутников, касающихся солнечной. Линейная скорость точек на внешней стороне шестерен-спутников равна линейной скорости точек на внутренней поверхности коронной шестерни, т.е. 8ωR . Далее, в системе отсчета, связанной с центром шестерни-спутника, ее движение является вращением вокруг центра. Поэтому все точки на поверхности шестерни имеют одинаковые по величине скорости, причем для точек, касающихся солнечной и коронной шестерен эти скоро-
75