Материал: Муравев Инженерная олимпиада школников 2016

10.5. Из проволоки спаяли четырехугольную пирамиду. Все ребра основания имеют сопротивление r, боковые ребра – 2r . К серединам двух соседних ре- бер основания подводят электрическое напряжение. Найти сопротивление пирамиды.

10.6. На два шкива с радиусами R и 3R , лежащие в одной плоскости, надели стягивающее

их резиновое кольцо. Известно, что нерастянутое кольцо плотно (но без усилия) надевается на большой шкив. Найти силы, с которыми

шкивы действуют друг на друга. Коэффициент жесткости резины, из которой сделано кольцо, равен k. Считать, что закон Гука работает для любых удлинений резины кольца.

9.11.Отборочный тур 2015–2016 учебного года, 11 класс

11.1(Сифон Герона). Древнегреческий механик Герон Александрийский считается одним из первых

инженеров в истории Земли. Он изобрел: автомат для продажи воды, прообраз парового двигателя, одометр (прибор для измерения скорости вращения колеса) и другие устройства (первый век нашей эры!). Одно из

изобретений Герона – сифон – изогнутая трубка, позволяющая жидкости перетекать из одного сосуда в другой (кстати, слово «сифон» переводится с греческого как насос). На рисунке показан двойной сифон Герона. В дне стакана сделано отверстие, в которое плотно вставлена открытая с двух концов трубка. На трубку надевается вторая трубка диаметром чуть больше первой и закрытая сверху. Контакт между второй трубкой и дном стакана неплотный, так, что при наливании жидкости в стакан она подтекает под край. В стакан до краев быстро наливают воду так, что вода за время наливания в сосуд не успевает вылиться через трубку. Что будет происходить потом? Ответ обоснуйте.

11.2.Задача 10.2 из задания для 9–10 классов.

11.3.Задача 10.3 из задания для 9–10 классов.

11.4.Задача 10.5 из задания для 9–10 классов.

11.5.Мяч бросают вертикально вверх со скоростью v0 =10 м/с.

Учитывая силу сопротивления воздуха, определите, что больше,

41

время подъема или спуска. Оцените отношение времен подъема и спуска, если известно, что установившаяся скорость падения этого

мяча в воздухе равна 10v0 . Считайте, что сила сопротивления воз-

духа, действующая на мяч, пропорциональна его скорости.

11.6. На вертикальный стержень круглого сечения радиуса r = 0,5 см надевают пластину с вырезанным в ней круглым отверстием, диа-

aметр которого немного больше диаметра стержня. Толщина пластины – d =1 см, расстояние от ее центра тяжести до центра стержня – a =10 см. При каком значении коэффици-

ента трения между пластиной и стержнем пластина не будет соскальзыватьпо стержню?

10.Решения

1.1.Одна из характеристик автомобиля, которую приводят производители в аннотации – его максимальная скорость. А от чего она зависит? И с чем вообще связан предел для скорости автомобиля: ведь если двигатель работает, то он должен продолжать и продолжать разгонять автомобиль.

Очевидно, что ограничение для скорости должен дать какой-то механизм, связанный с потерей механической энергии. Двигатель работает, совершает механическую работу, и где-то она должна теряться, поскольку при движении машины с максимальной скоростью ее кинетическая энергия не возрастает. Потеря механической энергии может происходить только благодаря трению или сопротивлению воздуха. Чтобы трение обеспечило значительные потери энергии, колеса должны скользить по дороге, а в обычных условиях они не скользят, а катятся. Поэтому именно сопротивление воздуха обеспечивает ограничение скорости автомобиля. Давайте исследуем потери энергии, связанные с сопротивлением воздуха, в зависимости от скорости автомобиля.

При движении тела в среде возникает сила сопротивления среды, которая должна зависеть от скорости – ведь при нулевой скорости сила сопротивления должна равняться нулю). Механизм сопротивления заключается в том, что движущемуся телу приходится толкать

42

перед собой воздух, совершая над ним работу. Для оценки будем считать, что весь воздух перед собой машина разгоняет до своей скорости. Найдемизэтого условия силу сопротивлениявоздуха.

Пусть скорость машины v , а площадь поперечного сечения S. Тогда за время t машина должна «толкнуть» вперед весь воздух, находящийся перед ней на том расстоянии, которое она пройдет за это время, т.е. на расстоянии v t от нее. Другими словами, машина всему воздуху, находящемуся в объеме

V = Sv t ,

должна сообщить скорость v . Поскольку масса этого воздуха есть m =ρΔV =ρSv t ,

а разгоняется он до скорости v , изменение импульса этого воздуха равно

p = mv =ρSv2 t .

Отсюда по второму закону Ньютона в импульсной форме

F t = p

находим силу, которая действует со стороны машины на воздух

По третьему закону Ньютона такая же сила действует со стороны воздуха на машину и, следовательно, является силой сопротивления воздуха.

Если машина движется с постоянной скоростью, то работы силы сопротивления воздуха и двигателя должны быть одинаковыми по величине. Поэтому

P = Fv =ρSv3 ,

где P – мощность двигателя; Fv – мощность силы сопротивления воздуха. Из этой формулы следует, что максимальная скорость машины определяется корнем кубическим из максимальной мощности, которую может развивать двигатель, и, следовательно, если взять ряд моделей машин, для каждой модели взять заявленные производителем максимальную мощность ее двигателя и максимальную скорость, нанести точку с координатами P и v на коор-

43

динатную плоскость P −v , то точки, отвечающие разным машинам, должны ложиться на кубическую параболу, как это и видно из приведенного в условии графика.

1.2. В различных инженерных устройствах (в том числе и в бытовых) нужны термомеханические датчики, которые должны давать определенные команды1 при нагревании (или охлаждении). Одна из функций таких датчиков – отключение тока при коротком замыкании в бытовых электрических сетях. Дело в том, что при соединении бытовых электрических контактов без нагрузки R (короткое замыкание) выделяется очень большая мощность

P = U 2 , R

поскольку P → ∞ при R →0 . Выделение большого количества теплоты может привести к пожару. Поэтому при возникновении короткого замыкания цепь нужно размыкать, причем это должен делать не человек, а сама цепь, поскольку человек может не успеть это сделать.

Идея разрыва цепи при коротком замыкании заключается в использовании термомеханических датчиков – при коротком замыкании возникает нагревание, при нагревании увеличиваются размеры тел; тела, увеличенные в размерах, могут разорвать электрическую цепь, нажав на соответствующие выключатели. Проблема только в том, что изменение размеров тел при нагревании – очень небольшое, поэтому, чтобы заметить изменение размеров, нужно сильно изменить температуру (когда все уже сгорит!). А можно ли увеличить деформацию тел при нагревании? Биметаллическая пластинка, которая рассматривается в настоящей задаче, и дает такую возможность.

Пусть есть прямая пластинка, изготовленная из двух разных металлов, спаянных по всей поверхности контакта (см. рисунок в условии). Что будет происходить при ее нагревании? Оба металла расширяются, но поскольку они разные, расширяются они поразному. А поскольку они спаяны по всей площади контакта, пластине выгоднее согнуться, чем растягивать один и сжимать другой

1 Например, разрывать электрическую цепь, перекрывать воду, включать электрический звонок и т.д.

44

металл. Причем при нагревании внутри изгиба будет пластинка из того металла, который меньше расширяется. Или, другими словами, та пластинка, которая удлинят-

чиной ее удлинения. Радиус изгиба можно оценить из следующих соображений. Пусть биметаллическая пластина нагрелась на T . Тогда пластинки, из которых она состоит, удлинятся на следующие величины

l1 =α1 Tl и l2 = α2 Tl ,

где l – первоначальная длина пластинок. Следовательно, для угла, на который опирается пластина после изгиба, можно записать (с учетом малой толщины пластины)

ϕ = l +ΔR l1 = Rl ++ l2h .

Отсюда, пренебрегая произведением двух малых величин, находим

Если угол ϕ много меньше одного радиана (для реальных пластин это условие выполнено), то

cos(ϕ/ 2)≈1−ϕ2 / 8

(это равенство можно получить из основного тригонометрического тождества и первого замечательного предела sin ϕ≈ϕ), то форму-

лу (*) можно привести к виду

45