Материал: Неопределенные и определенные интегралы. Методические указания и задания по математике. Акчурина Л.В., Дементьева А.М

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

Кафедра высшей математики

Неопределенные и определенные интегралы

Методические указания и задания по математике

для студентов архитектурного института

УДК 51.07

ББК 22.143я7

Составители:

Л.В. Акчурина, А.М. Дементьева, Н.А. Сапожкова

Неопределенные и определенные интегралы: Методические указания и задания по математике. / Воронежский ГАСУ, сост. Л.В. Акчурина, А.М. Дементьева, Н.А. Сапожкова. - Воронеж, 2015. – 32 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по курсу интегрального исчисления.

Приведены 32 варианта контрольных заданий.

Предназначено для студентов архитектурного института, направления “Архитектура” и “Реконструкция и реставрация архитектурного наследия”.

Библиогр.: 6 назв.

УДК 51.07

ББК 22.143я7

Печатается по решению учебно-методического совета

Воронежского ГАСУ

Рецензент – С.Н. Дементьев доцент кафедры высшей математики и теоретической механики Воронежского ГАУ, к.ф.-м.н.

Введение

Методические указания и контрольные задания составлены в соответствии с программой по высшей математике для архитектурного института. Основной целью методических указаний является помощь студентам архитектурных специальностей в освоении интегрального исчисления для выполнения индивидуального контрольного задания. В каждом разделе приводятся основные определения, необходимые формулы и образцы решения задач. Выполнять указанные задания следует после изучения соответствующего теоретического материала.

Ниже приводятся теоретические вопросы, которые необходимо изучить прежде, чем приступить к решению контрольных заданий.

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

1.2. Основные свойства неопределенного интеграла.

1.3. Таблица основных интегралов.

1.4. Интегрирование заменой переменной.

1.5. Интегрирование по частям.

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Понятие определенного интеграла.

2.2. Основные свойства определенного интеграла.

2.3. Формула Ньютона-Лейбница.

2.4. Интегрирование заменой переменной.

2.5. Интегрирование по частям.

3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

3.1. Вычисление площадей в декартовых координатах.

3.2. Вычисление объемов тел вращения.

3.3. Вычисление длин дуг плоских кривых.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Понятие дифференциального уравнения.

4.2. Понятие общего решения дифференциального уравнения.

4.3. Понятие частного решения дифференциального уравнения.

4.4. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Функцию называют первообразной для функции , если . Для функции существует бесконечно много первообразных, отличающихся на произвольную постоянную величину (константу). Действительно, т.к. , то является первообразной для . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается , т.е.

= .

Нахождение неопределенного интеграла функции является операцией, обратной дифференцированию. Поэтому основные формулы интегрирования получаются обращением формул дифференцирования.

1.2. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е. ( – const).

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: .

4. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: .

5. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: .

1.3. Таблица основных интегралов.

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.

Замечание. Табличные формулы инвариантны относительно замены переменной, т.е. остаются справедливыми, если переменную заменить любой другой переменной или дифференцируемой функцией .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Применяя свойства интеграла 1, 2 и формулы 2 и 3 таблицы интегралов, получим

Пример 2. Вычислить интеграл .

.

При нахождении интеграла использовалась формула 4 таблицы интегралов.

1.4. Интегрирование заменой переменной.

Если нельзя найти непосредственно, используя свойства и таблицу интегралов, то преобразуют подынтегральное выражение, заменяя переменную интегрирования. Это можно сделать двумя способами – либо переменную заменяют функцией, зависящей от другой переменной ( ), либо какое-нибудь выражение, зависящее от , считают новой переменной :

(1.1)

Оба пути решения ведут, как правило, к упрощению подынтегрального выражения, чтобы полученный интеграл стал табличным или раскладывался на сумму табличных. После вычисления полученного интеграла возвращаются к старой переменной. Основан метод на свойстве инвариантности формул интегрирования.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Заметим, . Подынтегральное выражение выражается через функцию , тогда получим интеграл , который имеется среди табличных интегралов: . Далее выполним обратную замену переменных: .

Итак, коротко, получим = .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Здесь можно обозначить через новую переменную подкоренное выражение, т.к. его производная , с точностью до множителя, является множителем подынтегрального выражения, т.е.

= = =

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Подынтегральное выражение является неправильной дробью, интегрирование которой следует начать с выделения целой части в дроби:

.

Проинтегрируем .

Последний интеграл есть среди табличных: .

А в интеграле введем замену переменной , заметив, что производная содержится в числителе, с точностью до коэффициента:

.