Материал: Неопределенные и определенные интегралы. Методические указания и задания по математике. Акчурина Л.В., Дементьева А.М

, (2.2)

где – непрерывная на функция, – любая из первообразных .

Пример 9.

.

Пример 10. .

2.4. Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенного интеграла требуется вычислять первообразную функции , а если интеграл не указан среди табличных, то, как и в неопределенном интеграле, применяется замена переменной. Следует обратить внимание на то, что замена затрагивает пределы интегрирования, т.е. если , то при замене новая переменная .

Если замена имеет вид , то

, (2.3)

где и находятся из условий , . После замены переменной и изменения пределов интегрирования возвращаться к исходной переменной не нужно.

Замечание. Замена только тогда выполняется корректно, если функция является непрерывно-дифференцируемой на отрезке .

Пример 11.

=

.

Пример 12.

=

.

. (3.3)

Если фигура ограничена прямыми , ( ) и графиками функций и ( на ), то для вычисления площади получаем формулу, аналогичную (3.3):

. (3.4)

Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Р ешение. Укажем на рисунке фигуру, площадь которой нужно вычислить, определив для этого точки пересечения линий:

и .

Из указанных выше формул вычисления площади выберем формулу (3.3), т.к. фигура ограничена сверху и снизу кривыми и , а слева и справа прямыми , , проходящими через точки пересечения этих кривых:

(кв. ед.).

Пример 16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

и , где .

Чтобы построить параболы, приведем их к каноническому виду

Изобразим фигуру (см. рис. слева) – искомая площадь между параболами и осью заштрихована. Вычислять площадь в данном случае проще, если переменной интегрирования считать , иначе фигуру придется разбивать на несколько частей.

Заметим, что искомая площадь может быть определена как разность площадей, образуемых с осью параболой (2) – и параболой (1) – . Определив точки пересечения парабол с осью , применим формулу (3.4): =

3 .2. Вычисление объемов тел вращения

Если плоская фигура сверху ограничена графиком функции , снизу осью , слева и справа прямыми и , то объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси , находится по формуле

. (3.5)

Если плоская фигура справа ограничена графиком функции , слева осью , сверху и снизу прямыми и , то объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси , находится по формуле

. (3.6)

Пример 17. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной линиями и .

Первая линия является прямой, вторая параболой, найдем точки, в которых линии пересекаются. Для этого решим систему уравнений:

Изобразим тело вращения, заштриховав вращаемую фигуру.

Объем всего тела вращения вокруг оси равен разности объемов – , полученного от вращения треугольника, и , полученного от вращения криволинейного треугольника, ограниченного сверху дугой параболы: .

Пример 18. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной линиями и , где .

Первая линия является эллипсом, вторая параболой. Найдем точки, в которых линии пересекаются. Для этого решим систему уравнений:

Изобразим тело вращения, заштриховав вращаемую фигуру.

Объем всего тела вращения вокруг оси равен сумме объемов верхней части – и нижней части – . Для вычисления объемов и , применим формулу (3.6):

.

3.3. Вычисление длин дуг плоских кривых

Если линия – это график функции где , то длина дуги этой линии, вычисляется по формуле , где функция на рассматриваемом отрезке – непрерывно-дифференцируема.

Пример 19. Вычислить длину дуги линии , где .

Используем формулу длины дуги , тогда получим:

.

4. Дифференциальные уравнения

4.1. Понятие дифференциального уравнения

Уравнение, содержащее неизвестную функцию, ее аргументы, производные или дифференциалы искомой функции, называется дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением:

.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Например, – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение (или для упрощения записи ). Уравнение может быть записано через дифференциалы .

Некоторые уравнения первого порядка разрешимы относительно производной и могут быть записаны в виде

. (4.1)

4.2. Понятие общего решения дифференциального уравнения

Общим решением дифференциального уравнения (4.1) называется функция вида

, (4.2)

которая зависит от переменной и от произвольной постоянной и при подстановке в уравнение (4.1) обращает его в тождество.

4.3. Понятие частного решения дифференциального уравнения

Частным решением дифференциального уравнения (4.1) называется решение, которое получается из общего (4.2) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .

Задачей Коши называют задачу нахождения такого частного решения уравнения (4.1), которое удовлетворяет заданному начальному условию , т.е. значение произвольной постоянной определяется условием . График частного решения называется интегральной кривой.