Материал: obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr
Лабораторная работа №5 Тема: Численное решение Обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка задачи: Дано дифференциальное уравнение |
2y - y +3y=x и |
|
начальные условия y(2)=0 y (2)=1 |
интервал [2;4,4] |
n=2 |
Требуется определить на промежутке [2;4,4] с шагом h приближенные значения функции y(x), y’(x), удовлетворяющие дифференциальному уравнению и начальным условиям в табличной форме. Выполнить решение методами: методом Эйлера, методом Эйлера с усреднением, методом Эйлера с центрированием, методом РунгеКутта.
Ручной счет
Метод Эйлера
Дано дифференциальное уравнение 2y - y +3y=x и начальные условия y(2)=0 y (2)=1 интервал [2;4,4] n=2
Введем обозначение у'=z , тогда y'' =z'. Перепишем исходное уравнение и начальные условия с учетом введенных обозначений.
{ |
|
|
|
|
|
y(2)=0 |
z(2)=1 |
|||
Выразим из второго уравнения z'. |
|
|||||||||
{ |
|
|
y(2)=0 |
|
z(2)=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим f(x,y,z)= |
|
|
|
|
a=2 |
b=4,4 |
||||
|
|
|
||||||||
Вычислим шаг |
|
|
= |
|
|
=1,2 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
x0=2 y0=0 |
z0=1 |
|
|
|
||||||
Метод Эйлера
Итерационная формула {
( )
Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.
{
x0=2 y0=0 z0=1
Выполним первый шаг i=0
{
61
Выполним второй шаг i=1
{
x |
y |
z |
2 |
0 |
1 |
3,2 |
1,2 |
2,8 |
4,4 |
4,56 |
4,24 |
|
|
|
y |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
z |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Метод Эйлера усреднением
Итерационная формула
|
|
̅̅̅̅̅ |
|
I этап { |
|
̅̅̅̅̅ |
II этап |
|
̅̅̅̅̅ |
( |
) |
|
|
|
{ |
|
|
̅̅̅̅̅ |
|
I этап { |
̅̅̅̅̅ |
II этап |
|
|
|
||
̅̅̅̅̅
{
( ̅̅̅̅̅̅)
( ( |
) (̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅)) |
|
|
( |
̅̅̅̅̅̅) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ |
̅̅̅̅̅̅̅ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.
x0=2 y0=0 z0=1
Выполним первый шаг i=0
|
̅ |
I этап { |
̅ |
|
|
|
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
̅̅̅) |
( |
|
) |
|
|
|
|
||||||
II этап |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( |
|
|
) |
( |
|
|
|
) |
||||||||
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним второй шаг i=1
|
|
|
|
|
|
̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I этап { |
|
̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
̅̅̅ |
̅̅̅ |
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
II этап |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
̅̅̅) |
( |
) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
) |
( |
|
|
|
|
|
) |
||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,2 |
|
2,28 |
|
|
2,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,4 |
|
5,057 |
|
|
-0,645 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
z |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
-1 |
|
|
|
|
|
Метод Эйлера с центрированием
Итерационная формула
63
I этап |
|
|
|
|
|
|
II этап |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
|
|
) |
||||||
{ |
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.
I этап |
|
|
II этап |
|||||||
|
||||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x0=2 y0=0 z0=1 |
|
|||||||||
Выполним первый шаг i=0 |
|
|||||||||
I этап
{
=2,6 =0,6
II этап
{
Выполним второй шаг i=1
I этап
{
=3,8 =3,852
II этап
{
x |
y |
z |
2 |
0 |
1 |
3,2 |
2,28 |
2,62 |
4,4 |
5,057 |
-0,645 |
|
|
|
y |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Реализация методов в Mcad |
|
||||
|
|
|
z |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
-1 |
|
|
|
|
|
65