Материал: obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Реализация в программе MS Excel Построение интерполирующей функции с помощью тренда

Квадратичная интерполяция

1.Ввести исходные данные – значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке.

2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – «Точечная» точки без соединения линиями).

3.Для построения полинома 2-й степени P2(x)= a0 + a1 x + a2 x2 выберем три точки (x0, y0), (x1, y1) и (x4, y4).

4.Добавим ряд из этих точек.

Построим для этого ряда полиномиальный тренд 2-й степени и показать уравнение на диаграмме.

51

Кусочно-линейная интерполяция (Метод неопределѐнных коэффициентов)

Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi}

i

0

1

2

3

4

x

0,2

0,4

0,7

0,85

1

y

0,1

0,5

0,6

0,9

0,7

Выполнить кусочно – линейную интерполяцию.

Система для нахождения

 

 

Ответ

 

коэффициентов полинома на

 

 

 

 

 

каждом участке

 

 

 

 

 

 

1 участок

2участок

 

 

 

 

 

a10 a11 x0

y0

a20

a21 x1

y1

a1

a1

x,приx

x x

 

y1

 

a21 x2

y2

 

0

1

0

1

a10 a11 x1

a20

a2

a2

x,приx

x x

 

 

 

 

 

 

0

1

1

2

 

 

 

 

 

P1( x ) a3

a3

x,приx

x x

3 участок

 

4участок

 

 

0

1

2

3

 

 

a40

a41 x,приx3 x x4

a30 a31 x2 y2

a40 a41 x3 y3

 

y3

 

a41 x4

y4

 

 

 

 

 

a30 a31 x3

a40

 

 

 

 

 

На интервале от 0,2 до 1 задано 5 точек, получаем 4 отрезка. Интерполируем (метод Неопределенных коэффициентов) полиномом 1 степени каждый отрезок. После нахождения каждого полинома запишем результат.

1 участок.

i

0

1

Общий вид полинома P11( x ) a10

a11 x . По условию интерполяции полином

x

0,2

0,4

должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.

y

0,1

0,5

P11( x0 ) y0

a10

a11 x0

y0

 

 

 

 

. Подставим значения

 

 

 

P11( x

) y

Следовательно a1

a1 x

y

 

 

 

 

1

1

 

0

1 1

1

 

 

 

a10 a11 0,2 0,1

.Неизвестными в системе являются

x0 ,x1, y0 , y1. В результате получаем

a1 a1 0,4 0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0,2

0,1

 

 

 

a10 ,a11 .Решим систему методом Гаусса.

 

. Приведем систему к треугольному виду,

 

 

 

1

0,4

0,5

 

 

 

для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку и результат запишем на место 2

 

1

 

 

 

 

a10 a11 0,2 0,1

 

0,2

0,1

 

 

 

. Из

строки. 0

0,2

0,4 . Запишем полученную матрицу в виде системы.

a1 0,2 0,4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2 уравнения найдем a1 0,4

a1 2 . Из 1 уравнения найдем a1 .

a1

0,1 0,2 a1

 

 

 

 

1

0,2

1

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a10 0,1 0,2 2

a10 0,3. Запишем найденное уравнение P11( x ) 0,3 2 x . Проверка.

Найденное уравнение должно проходить через точки x0 , y0 , x1, y1 .

 

P11( x0 ) 0,3 2 x0

 

 

 

 

 

 

 

P11( 0,2 ) 0,3 2 0,2

 

 

 

 

 

 

 

P11( 0,2 ) 0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

P11( x1 ) 0,3 2 x1

 

 

 

 

 

 

 

P11( 0,4 ) 0,3 2 0,4

 

 

 

 

 

 

 

P11( 0,4 ) 0,5 Следовательно прямая проходит через 0 и 1 точки.

 

 

2 участок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

2

Общий вид полинома P12( x ) a20

a21 x . По условию интерполяции полином

x

0,4

0,7

должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.

y

0,5

0,6

P12( x ) y

a2

0

a2 x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

Следовательно

1 1

1 . Подставим значения

 

 

 

P12( x2 ) y2

a20

a21 x2

y2

 

 

x1,x2 , y1, y2

 

 

 

 

a20 a21 0,4 0,5

.Неизвестными в системе являются

. В результате получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

a20 a21 0,7 0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,4

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a20 ,a21 .Решим систему методом Гаусса.

 

 

. Приведем систему к треугольному виду,

 

 

 

 

 

1

0,7

 

0,6

 

 

 

 

 

 

для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат запишем на место 2

 

1

0,4

 

0,5

 

 

 

 

 

a20 a21 0,4 0,5

. Из

 

 

 

 

 

 

строки. 0

0,3

 

0,1 . Запишем полученную матрицу в виде системы.

a2

0,3 0,1

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 уравнения найдем a2

a2 0,333. Из 1 уравнения найдем a2

0

. a2

0

0,5 0,4 a2

 

 

1

0,3

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a20 0,5 0,4 0,333 a20 0,3668. Запишем найденное уравнение

P12( x ) 0,3668 0,333 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки

x1, y1 , x2 , y2 .

P12( x1 ) 0,3668 0,333 x1 P12( 0,4 ) 0,3668 0,333 0,4

P12( 0,4 ) 0,5

P12( x2 ) 0,3668 0,333 x2 P12( 0,7 ) 0,3668 0,333 0,7

P12( 0,7 ) 0,6 Следовательно прямая проходит через 1-ю и 2-ю точки.

3 участок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

2

3

Общий вид полинома P13( x ) a30

a31 x . По условию интерполяции

x

0,7

0,85

полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.

y

0,6

0,9

P13( x2 ) y2

 

 

a30

a31 x2

y2

 

 

 

 

 

 

. Подставим значения

 

 

 

P13( x

) y

Следовательно a3

 

a3 x

y

 

 

 

 

3

3

 

 

 

0

 

1 3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a30 a31 0,7 0,6

.Неизвестными в системе

x2 ,x3 , y2 , y3 . В результате получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a30 a31 0,85 0,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,7

 

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

являются a30 ,a31 .Решим систему методом Гаусса.

 

 

 

 

. Приведем систему к

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,85

 

0,9

 

треугольному виду, для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат

 

 

 

 

 

1

0,7

 

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запишем на место 2 строки.

 

 

. Запишем полученную матрицу в виде системы.

 

 

 

 

 

0

0,15

 

0,3

 

 

 

 

 

 

 

a30 a31 0,7 0,6

. Из 2 уравнения найдем a31

0,3

 

2 . Из 1 уравнения найдем a30 .

 

a31 0,15 0,3

 

a31

0,15

 

 

 

 

a30 0,6 0,7 a31 a30 0,6 0,7 2 a30 0,8 . Запишем найденное уравнение P13( x ) 0,8 2 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки

x2 , y2 , x3 , y3 .

P13( x2 ) 0,8 2 x2

P13( 0,7 ) 0,8 2 0,7 P13( 0,7 ) 0,6

P13( x3 ) 0,8 2 x3

P13( 0,85) 0,8 2 0,85

P13( 0,85) 0,9 .Следовательно, прямая проходит через 2-ю и 3-ю точки. 4 участок.

i 3 4

53

x

0,85

1

Общий вид полинома

P14( x ) a40 a41 x . По условию интерполяции

 

y

0,9

0,7

 

полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.

 

 

 

P14( x ) y

a4

0

a4 x

3

y

3 . Подставим значения x3 ,x4 , y3 , y4

. В

 

 

3

3

Следовательно

 

1

 

 

P14( x4 ) y4

a40

a41 x4

y4

 

 

 

 

 

a40 a41 0,85 0,9

.Неизвестными в системе являются a40 ,a41

 

результате получаем

1 0,7

 

 

 

 

 

a40 a41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,85

 

0,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.Решим систему методом Гаусса.

 

 

 

 

 

. Приведем систему к треугольному виду, для

 

 

 

 

1

 

 

1

 

0,7

 

 

 

 

 

этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат запишем на место 2 строки.

1

0,85

 

0,9

 

a40 a41 0,85 0,9

. Из 2

 

 

0

0,15

 

0,2 . Запишем полученную матрицу в виде системы.

a4

0,15 0,2

 

 

 

 

0,2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

уравнения найдем a4

a4 1,333. Из 1 уравнения найдем a4

0

.

 

 

1

0,15

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a40 0,9 0,85 a41

a40 0,9 0,85 ( 1,333) a40 2,033. Запишем найденное

 

уравнение P14( x ) 2,033 1,333 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через

точки x3 , y3 , x4 , y4 .

P14( x3 ) 2,033 1,333 x3 P14( 0,85) 2,033 1,333 0,85

P14( 0,85) 0,9

P14( x4 ) 2,033 1,333 x4 P14(1) 2,033 1,333 1

P14(1) 0,7 .Следовательно, прямая проходит через 3-ю и 4-ю точки.

 

0,3 2 x,если0,2 x 0,4

 

 

Запишем ответ P1( x ) 0,3668 0,333 x,если0,4 x 0,7

 

0,8 2 x,если0,7 x 0,85

2,033 1,333 x,если0,85 x 1

 

Построим график

.

Реализация метода в Mcad

Метод неопределѐнных коэффициентов(кусочно-линейная интерполяция)

 

 

0.

2

 

 

 

 

0.1

 

 

0.

4

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0.

7

 

y

0.6

 

 

0.85

 

 

 

 

0.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0.7

1 участок

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

y

0

 

 

C1

 

 

 

0

 

D1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

a1 C1 1 D1

0.3

a1

2

P11(x) a10 a11 x

2 участок

 

1

x

 

 

y

1

 

C2

 

 

1

 

D2

 

 

 

 

 

 

1

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

a2 C2 1 D2

a2

0.3670.333

P12(x) a20 a21 x

Исходные данные

i 0 4

Матрицы C1 и D1 для системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а10 и а11

Интерполирующая функция 1 участка

Матрицы C2 и D2 для системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а20 и а21

Интерполирующая функция 2 участка

55

Источник: https://studfile.net/preview/16700482/

Смотрите также:

_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)