Материал: obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr
xc |
a b |
|
2,950 3,100 |
3,025 . |
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=3,0252-5*3,025+6=0,026
Проверяем |f(xc)|<0,01 |0,026|<0,01 нет, это значит что значение x= 3,025 нельзя считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.
Поэтому необходимо выбрать одну из половин интервала [2,950;3,025] и [3,025;3,100] для дальнейшего расчета.
f(a)=f(2,950)= - 0,047 f(xc)=f(3,025)=0,026 f(b)=f(3,100)=0,110
Для выбора одной из половин интервала проверяем условие f(a)*f(xc)<0 (-0,047)*0,026<0 да,
Произведение отрицательно, следовательно, на левом половине интервала есть корень.
Делаем следующий шаг. Теперь a=2,950 b=3,025
На интервале [2,950;3,025] находим среднюю точку хс
xc |
a b |
|
2,950 3,025 |
2,988. |
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=2,9882-5*2,988+6=-0,012
Проверяем |f(xc)|<0,01 |-0,012|<0,01 нет, это значит что значение x= 2,988 нельзя считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.
Поэтому необходимо выбрать одну из половин интервала [2,950;2,988] и [2,988;3,025] для дальнейшего расчета.
f(a)=f(2,950)= - 0,047 f(xc)=f(2,988)= - 0,012 f(b)=f(3,025)=0,026
Для выбора одной из половин интервала проверяем условие f(a)*f(xc)<0 (-0,047)*(-0,012)<0 нет,
Произведение положительно, следовательно, на левом половине интервала нет корня, он на правой половине.
Делаем следующий шаг. Теперь a=2,988 b=3,025
На интервале [2,988;3,025] находим среднюю точку хс
xc |
a b |
|
2,988 3,025 |
3,006 . |
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=3,0062-5*3,006+6=0,006
Проверяем |f(xc)|<0,01 |0,006|<0,01 да, это значит что значение x= 3,006 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.
Вывод: x= 3,006 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01, т.к. |f(3,006)|<0,01 |0,006|<0,01
|
0,110 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
0,026 |
2,95 |
2,988 |
|
||
0,006 |
|
||||
|
|
|
|||
-0,012 |
|
3,006 3,025 |
3,100 |
||
-0,047 |
|
||||
Рисунок метода половинного деления
Реализация в программе MSExcel
Результат реализации в программе MSExcel
Реализация в программе Mcad
7
3. Метод Ньютона
Постановка задачи: Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на интервале изоляции корня [2,95;3,1] найти приближенный корень с точностью 0,0001.
Ручной счет.
Проверим какой из концов интервала изоляции корня [2,95;3,1] (найденный шаговым методом) выбрать в качестве начального приближения к корню. Обозначим a=2,950 b=3,100 Необходимо проверить следующие условия:
f’(a)≠0 и f(a)*f''(a)>0 f’(b)≠0 и f(b)*f''(b)>0
f’(x)=2*x-5 1-я производная f”(x)=2 2-я производная
Проверяем f’(a)=2*a-5=2*2,95000-5=0,90000 f(a)*f’’(a)=(a2-5*a+6)*2=(2,950002-5*2,95000+6)*2=-0,09500<0
Т.к. одно из условий не выполнилось, значение а нельзя брать в качестве начального приближения
x0.
Проверяем f’(b)=2*b-5=2*3,10000-5=1,20000 f(b)*f’’(b)=(b2-5*b+6)*2=(3,100002-5*3,10000+6)*2=0,22000>0
Оба условия выполнились - значение b можно брать в качестве начального приближения x0.
За начальное приближение выбираем x0=3,10000.
Итерационная формула метода Ньютона xi 1 xi f(xi ) . f'(xi )
Вычислим первое приближение к корню i=0
x1 x 0 f(x0 ) : f'(x0 )
f(x0)= x02-5* x0+6=3,100002-5*3,10000-6=0,11000 f’(x0)=2*3,10000-5=1,20000
x1 |
x 0 |
|
f(x |
0 ) |
3,10000 |
|
|
0,11000 |
3,00833 |
||
f'(x |
0 ) |
1,20000 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Находим значение функции f(x1)
f(x1)= )= x12-5* x1+6=3,008332-5*3,00833-6=0,00840
Проверяем
f(x1 ) 0,00840 0,0001 нет, следовательно, корень не найден на первой итерации.
Делаем следующий шаг.
Вычислим второе приближение к корню i=1
x 2 x1 f(x1 ) : f'(x1)
f(x1)= x12-5* x1+6=3,008332-5*3,00833-6=0,00840 f’(x1)=2*3,00833-5=1,01667
x 2 x1 |
f(x1 ) |
3,00833 |
|
0,00008 |
3,00008 |
|
f'(x1 ) |
1,01667 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Находим значение функции f(x1)
f(x2)= )= x22-5* x2+6=3,000082-5*3,00008-6=0,00007
Проверяем
f(x2 ) 0,00007 0,0001 да, следовательно, х= 3,00008 корень уравнения с точностью
0,0001найден на второй итерации.
Вывод: x= 3,00008 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,0001, т.к. |f(3,00008)|<0,0001 |0,00007|<0,0001
0,11000
0,00840 ~
0,00007
3,00007 |
3,00833 |
3,10000 |
Рисунок метода Ньютона
Реализация в программе MSExcel
9
Реализация в программе Mcad
4. Метод простой итерации
Постановка задачи: Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на интервале изоляции корня [2,95;3,1] найти приближенный корень с точностью 0,01.
Ручной счет.
1 способ
Заданное уравнение x2-5 x+6=0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное. x=x-koef*f(x).