Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения, страницы 11-15

1		5y −7		5y −7	2	25C	2	;
	+	5x +1	−	5x +1	=
						(5x +1)2

(5x +1)2 + (5y −7)(5x +1) −(5y −7)2 = 25C2

25x2 +10x +1+ 25xy +5y −35x −7 − 25y2 + 70y − 49 = 25C2 25x2 − 25x + 25xy + 75y − 25y2 = 25C2 + 49 −1+ 7

x2 − x + xy +3y − y2 = C2	+	55	= C;
		25
Итого, выражение x2 − x + xy +3y − y2 = C является			общим интегралом исходного
дифференциального уравнения.

a a1

b b1

	′			ax +by + c
В случае если в исходном уравнении вида y		=					определитель
					x +b y + c
			f a
				1	1	1

= 0, то переменные могут быть разделены подстановкой ax +by = t.

Пример. Решить уравнение 2(x + y)dy + (3x +3y −1)dx = 0.

Получаем 2(x + y) dy = −3x −3y +1;		dy		= −3x −3y +1
dx		dx		2x + 2y
Находим значение определителя	−3	−3	= −6 + 6 = 0;

	2	2
Применяем подстановку 3x +3y = t.
		dy		= t′ −1;
		dx		3

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

t′	3(t −1)	; 2t(t	′	−3) = −9t +9;	2tt	′	= 6t
3 −1 = −
	2t

= −3x +3y −1; 2x + 2y

−9t +9; 2tt′ = −3t +9;

Разделяем переменные:

2t

dt = dx;

t

dt = −

3 dx;

−3t +9

3

t −3

3

2

∫ 1

+

dt = −

∫dx;

t −

3

2

t +3ln

t −

3

= − 3 x +C

2

1

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

2x + 2y + 2ln 3(x + y −1) = −x +C2 ;

3x + 2y + 2ln 3 + 2ln x + y −1 = C2 ;

3x + 2y + 2ln x + y −1 = C;

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

y′+ P(x)y = Q(x),

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

y′+ P(x)y = 0.

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

dy

= −P(x)dx

y

ln

y

= −∫P(x)dx + ln

C

;

ln

y

= −∫P(x)dx;

C

Общее решение:

y = Ce−∫P ( x)dx

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)≠0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y = uv .

При этом очевидно, что y′ = u dvdx + v dudx - дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

u dvdx + v dudx + P(x)uv = Q(x)

u	dv	du		= Q(x)
u	dx	+ v	+ P(x)u	= Q(x)
	dx	dx

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция y = 2x2 может быть представлена как y =1 2x2 ; y = 2 x2 ; y = 2x x; и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение dudx + P(x)u = 0 .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

du = −P(x)dx;

∫du

= −∫P(x)dx;

ln

u

= −∫P(x)dx;

u

u = Ce−∫P ( x)dx ; C =1/ C1;

ln

C1

+ ln

u

= −∫P(x)dx;

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение

для функции u в исходное уравнение

u

dv

du

dx

+ v

+ P(x)u = Q(x) с учетом того, что

dx

выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Сe−∫P ( x)dx dv	= Q(x);	Cdv = Q(x)e∫P ( x)dxdx;
dx

Интегрируя, можем найти функцию v:

Cv =	∫	Q(x)e∫P ( x)dxdx +C ;	v =	1	Q(x)e∫P ( x)dxdx +C ;
				C ∫
		1			2

Т.е.былаполученавтораясоставляющаяпроизведения y = uv , котороеиопределяет

искомую функцию.
Подставляя полученные значения,		получаем:
y = uv = Ce	−∫P ( x)dx		1	∫Q(x)e	∫P ( x)dx	dx +C2


			C

Окончательно получаем формулу:

y = e	−∫P ( x)dx	∫Q(x)e	∫P ( x)dx	dx +C2	, С2	- произвольный коэффициент.
y = e		∫Q(x)e		dx +C2	, С2	- произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

МетодЛагранжа решениянеоднородныхлинейныхдифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

y′+ P(x)y = Q(x)

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

y′+ P(x)y = 0

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

y = C1e−∫P ( x)dx .

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: y′ = dydx = dCdx1 (x) e−∫P ( x)dx +C1 (x)e−∫P ( x)dx (−P(x));

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

dC1 (x)e−∫P ( x)dx −C1 (x)P(x)e−∫P ( x)dx + P(x)C1 (x)e−∫P ( x)dx = Q(x)

dx

dC1 (x) e−∫P ( x)dx = Q(x);

dx

Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):

dC1 (x) = Q(x)e∫P ( x)dxdx;

Интегрируя, получаем:

C1 = ∫Q(x)e∫P ( x)dxdx +C;

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

y = e	−∫P ( x)dx	∫Q(x)e	∫P ( x)dx
y = e		∫Q(x)e		dx +C .

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

1

Пример. Решить уравнение x2 y′+ y = ax2e x .

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу: P =	1	1
		; Q = ae x ;
	x2

y′+	1	1
		y = ae x .
	x2

−∫

1

dx

1

∫

1

dx

2

x

2

y = e

x

e

x

dx +C

∫ae

1

−1

1

(∫adx +C)

y = e x

∫ae x e

x dx +C

= e x

1

y = e x (ax +C).

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y′+ Py = Q yn ,

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z =

1

, с помощью

yn−1

которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yn.

y′

+ P

1

= Q;

yn

yn−1

′

(n −1)yn−2

′

(n −1)y′

Применим подстановку, учтя, что

z

= −

y2n−2

y

= −

yn .

−

z′

+ Pz = Q

n −1

z′−(n −1)Pz = −(n −1)Q

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде:

z = e

−∫Pdx

∫P1dx

∫Q1e

dx +C

Q1 = −(n −1)Q;

P1 = −(n −1)P.

Пример.

Решить уравнение xy′+ y = xy2 ln x.

Разделим уравнение на xy2:

y′

1

= ln x.

+ x

y2

y

1

′

y′

Полагаем z = y ;

z

= − y2 .

′

1

′

1

− z

+ x z = ln x;

z − x z = −ln x.

Полагаем P = −

,

Q = −ln x.

x

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Смотрите также: