Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение xy′− 4y = x2 y.

Разделим обе части уравнения на x y.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

2xC(x) + x2 dCdx(x) − 2x2Cx (x) = 2x ; dCdx(x) = 21x ; C(x) = 12 ln x +C2 ;

Получаем: z = x2 C2 + 1 ln x ;

2

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

y= x4 C2 + 1 ln x 2 ;

2

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u = F (x, y).

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: du = 0; u = C.

Таким образом, для решения надо определить:

1)в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2)как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма M(x, y)dx + N(x, y)dy является полным дифференциалом

некоторой функции u, то можно записать:

du = M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy.

∂∂ux = M(x, y)

Т.е. ∂u .

∂y = N(x, y)

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

∂2u = ∂M(x, y)∂x∂y ∂y∂2u = ∂N(x, y)∂x∂y ∂x

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

∂M(x, y) = ∂N(x, y)

∂y ∂x

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство ∂∂ux = M(x, y) :

u = ∫M(x, y)dx +C(y).

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у.

∂∂uy = N(x, y) = ∂∂y ∫M(x, y)dx +C′(y).

Откуда получаем: C′(y) = N(x, y) − ∂∂y ∫M(x, y)dx.

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

u = ∫M(x, y)dx +C(y) = ∫(3x2 +10xy)dx +C(y) = x3 +5x2 y +C(y); ∂∂uy = 5x2 +C′(y) = N(x, y) = 5x2 −1;

C′(y) = −1; C(y) = ∫(−1)dy = −y +C1 ;

Итого, u = x3 +5x2 y − y +C1.

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: u = x3 +5x2 y − y +C1 = С2 ;.

x3 +5x2 y − y = C.

Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Делая замену, получаем: p = f ′( p) dpdx ;

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

x = ∫ f ′(pp) dp +C

y = f ( p)

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

y = ∫pf ′( p)dp +Cx = f ( p)

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )

Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

P(y′)x +Q(y′)y + R(y′) = 0

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy = pdx, получаем: pdx = f ( p)dx + xf ′( p)dp + ϕ′( p)dp.

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x = F ( p,C), то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

x = F ( p,C)

y = xf ( p) + ϕ( p) = F ( p,C) f ( p) + ϕ( p)

Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

y = xy′+ ϕ(y′).

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены y′ = p , уравнение принимает вид:

y = xp + ϕ( p).

[x + ϕ′( p)]dpdx = 0;

Это уравнение имеет два возможных решения:

dp = 0 или x + ϕ′( p) = 0.

В первом случае: p = c;

y = cx + ϕ(c)

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

y = xp + ϕ( p)x + ϕ′( p) = 0

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

∫dyy = ∫dxx ; ln y = ln x + ln C;

y = Cx;

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид: y = C(x)x;

Дифференцируя, получаем: y′ = C′(x)x +C(x);

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

C′(x)x +C(x) −C(x) = x +1 xC′(x) = x +1

C′(x) =1+ 1x ; C(x) = ∫ 1+ 1x dx +C;

C(x) = x + ln x +C;