Материал: Оптимизация процессов грузовой работы.

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

И спользуя теорему линейности, получим следующее уравнение:

Z\f[(k + n ) T ] + a n_J[(k + ( n -		1 ) ) Г ] + . - -	+ а 1/ [( А + 1 )7 ’] +
+ «о/ (kT)\ = F (z) z" -	/„г" -	/iZ"-1 --------------	f„_22 2 - f„_lZ - f
+ an_! [F(z) z " - 1 —	fo Z ^ 1 — ^ z « - 2 --------------		fn-2z] +
+ ■•• + <h IF (z) z —		f 0z] + ao/7 (z) = 0.		(2.73)

Группируя члены уравнения (2.73) по степеням z и решая его отно сительно F (z), получим

2 І/о2" - 1 4 -	( f i + a n-ifo) z”	2 +	• • • +
p ^ __ + ( / л - і + ал -і/л -а 4 - a n-2fn-3 4 "		' ' '	4~ a j o ) ]	^2 7 4 )
г" +	an-i2”- 1 4---------	h 0^ 4-00

К ак видно из (2.74), коэффициенты при степенях z представляю т собой линейные комбинации из начальных условий (2.71) разност ного уравнения (2.70). Обозначим эти коэффициенты следующим образом:

Ьп-і — /о!

bn-2 = / і 4 - Ал- i/o ;

Ьп-3 = fi +

ал-і/і4 -

a n - J <h

(2.75)

/ л - 2

an-lfn- 3

4 “

^n-zfn-i 4 -------- 4 -

а J 0]

b0=

/л- 1

4“an-ifn- 2

Ял-г/я-з 4“ ••■4" aifo-

Представим

выражения

(2.75)

общем

виде:

(2.76)

Ь п - (i+1) —

+ S

C t n - jfi—j,

/=і

где 6 tl_(£+ i)

при

> л —

а„ _ ; = 0

при

/, /і_ , — зн а

чения функции в дискретные моменты времени t =

(і — /') Т.

П ридавая

последовательно

значения л,

л 4 - 1 ,

п 4“ 2, л 4- 3,

. . ., получим

следующие соотношения:

0— /л + ал - і/л - і 4-•■•+ aifi 4-ßo/o!

= fn+i 4 ” йл- і /л 4 -------- 4 -

aif24~

ßo/i;

/гл -1

4 “

а л - і/г л - 2

• ■■ 4 " a ifn

4 -

(2.77)

ß o /л- il

/гл

4 “

а л - і/ г л - і

4 -------- 4 -

ß i /л+ і

4 "

ßo/л!

== /гл + і +

ß n - i/гл

4 --------4 - ß i /л+г

а о/л+іі

ГЛАВА 2

Соотношения (2.75) связы ваю т коэффициенты числителя и зн а менателя в формуле (2.74) с первыми п значениями функции / ЦТ), j = О, 1, 2, . . . С помощью этих соотношений легко вычислить коэффициенты числителя, если известны коэффициенты знаменателя.

Равенства (2.77) перепишем в виде

— / л

« л - і / л - і +

■• ■ +

aifi + aofo',

~ f n +1 — a n - lfn + • • • 4~ ^ 1 / 2 + a o fi,

'f i n - l =

Q -n-lfzn-i “b

' '

’ “b

a i l n

a o f Л-1 І

/гл =

an_if2n_i Ң -

••• +

&ifл+1 “I- @ofn)

/гл+і =

a n - if in

~f" ' ' '

~f“ a i f л+2 "f" a o fл+ъ

Д ля

общего

случая,

когда число строк равно т, эти равенства

можно

записать

в матричной

форме:

fn -

- fn-1

fn-i ’ ■ / l

/о “

f Л+1

/л

/л-1

■

• / 2

/ і

ап-і

/гл

—

fin-1

/гл- 2

‘

/л+1

/л

^л-2

(2.78)

/гл+і

fin

fin-1

•

/л+2

/Л+1

«О J

fn+m-i

fn+m-2 /n+m-3 '

■ и

/Ш—1

Матрица коэффициентов состоит из т строк и п столбцов. Если ограничиться первыми п строками, получим матрицу размером пХт, что приведет к системе из п уравнений с п неизвестными величинами

ап_1Уап_2,	. . .,	а0. Реш ив	эту систему, найдем коэффициенты an_lt
ап_2, . . .,	а 0>	а затем с	помощью	соотношений (2.75)		вычислим
коэффициенты		числителя	bn_ly bn_2,	. . ., Ь0/	Это позволит		по
строить изображение F (г)			аппроксимирующей		функции	f ( t),	кото

рая будет совпадать с заданной функцией /* (t) в п точках t = О,

Т, . . ., пТ.

В интервалах между точками разбиения отклонения аппрокси мирующей функции от заданной могут быть недопустимо большими. Чтобы получить хорошую точность аппроксимации во всех точках, нужно прибегнуть к методам наилучшего приближения. Д ля этой

цели возьмем пг строк (пг > л ) .	Тогда	получим системууравнений,
которую запиш ем в матричной форме:
/ =	Fß,	.(2 .79)

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

где f — вектор-столбец:
	fn	'
	fn+l
	/ =
	fri+m-i..
F — прямоугольная	tnXn матрица,	элементами которой являю тся
значения функции f	(t) от f 0 до	а — столбец искомых коэф
фициентов:
	а п - 1
	ао	J

Число т выбираем достаточно большим, удовлетворяющим соотно шению

4 =	іп + /л — 1) Т,
где 4 — время наблюдения	процесса.

Система уравнений (2.79) является несовместной. В теории матриц доказано, что эта система имеет одно и только одно наилуч шее приближение (при использовании метода наименьших квадра

тов), и это приближение определяется				по формуле
			а = F*f,			(2.80)
где	F* — псевдообратная		матрица для	прямоугольной матрицы F.
По	найденным	значениям	ап_ъ ап_2, . . ., а0 с помощью соотноше
ний (2.75) вычисляем коэффициенты Ьп_ъ Ьп_2, . . .,					Ь0. Зная	коэф
фициенты at и		(2.74), можно найти функцию F (г).
	Оригинал f	[kT] для	изображения	F (z) будет	решением	урав

нения (2.70) с начальными условиями (2.71). При этом f (kT) опре деляется для всех неотрицательных значений k по формуле обрат ного z-преобразования

f m = ^ r \ F ( z ) z - 4 z .

(2.81)

Контур интегрирования Г в плоскости z, охватывающ ий особые точки F (z), изображен на рис. 2 .10 .

Полученная аппроксимирующая функция будет наилучшим при ближением к функции /* (/).

Уравнение (2.81) представляет собой выражение для обратного z-преобразования аппроксимируемой функции, так как /* (і) опре деляется значениями интеграла (2.81) для всех неотрицательных к.

ГЛАВА 2

Действительная выходная величина представляется следующим образом:

		СО
П О		= £ f {пТ) б (* — п Г ).	(2.82)
Контурный интеграл в	уравнении (2.81) может быть вычислен с по
Контурный интеграл в		п=0
мощью формулы Коши
f [kT] = -Щ - J		F (а) 2 ' - 1 dz = 2 Res К (г) г " - 1.	(2.83)

Д ля применения формулы обращения целесообразно дробно рациональную функцию F (z) разбить на элементарные дроби. При этом могут иметь место следующие случаи:

1. Элементарная дробь имеет вид

-------— . Оригинал	( t) для	этой	дроби
2 — 2І(
равен
h = 2 л I	гп ld z=	Atzl =	A ß i'

при t = пТ.

От показательной функции zT мож

но перейти к экспоненциальной, пред ставляя корень 2 ,- в виде zt — emc, где mf = ln zt. Тогда

					Рис. 2.10.	Особые точки кон
h (z) = 2 - 1 { - ^ r } =			Afi—		тура интегрирования.
h (z) = 2 - 1 { - ^ r } =			Afi—	*. (2.84)
2.	Полюсы элементарной			дроби кратные, т. е. дробь имеет			вид
Ага	■. Тогда
( 2 - у ) “	■. Тогда
( 2 - у ) “
		ft (t) = lim Aza+n~l = А у у - Х= АуаУ				г .
		Z->V
П олагая у =		eL, где / =	In у, получим
			f2(t) = Aya- V
3.	Полюсы элементарной дроби				комплексные сопряженные,		т. е.
дробь	имеет	вид	. В этом		случае при получении ори
гинала /з (t)		представим	рассматриваемую дробь в следующем виде:
		zjBjZ + Q) ^	BiZ( z + - r )		г ( с‘ - Ві-т)
	z l + P iZ + q t		2 2 + P iz + q i		' 2 - + P iz + Qi

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Сравнивая с табличными преобразованиями (индексы далее опу скаются)

		Z {e~a<sin со0/ } =			гг	аТ sin со0Т
		Z {e~a<sin со0/ } =				аТ cos со0Т		е 2аТ	’
			г2 — 2ге			аТ cos со0Т		е 2аТ	’	(2.85)
					г ( г -	■е	аТ cos со0Т)			(2.85)
		Z {ß - a/cos(B0^ =			г ( г -	■е	аТ cos со0Т)
		Z {ß - a/cos(B0^ =			2ze	аТ cos щ Т +		г— Іа Т	>
			г" +		2ze	аТ cos щ Т +		г— Іа Т	>
видим, что
			р = —	2е-аТcos со07’;'І						( 2. 86)
			q = e~ -аГ.				}			( 2. 86)
			q = e~ -аГ.				}
Вычислим
		У	д - ( - f - ) 2 =	Y е~2аТ— е~2аГcos2 а 0Т
			= е~аТ у 1 — cos2 со0Т — е ~аТsin <в0Т.
В	результате		проведенных	преобразований				можно найти		ориги-
нал	л	2 (B [ Z + Сі)			имеет		следующий вид:
нал	дроби	га_\|_р.^ц_ д . который			имеет		следующий вид:
		/2 (t) =	е~аТВ cos <в0Т +		е~аТ		С - В ^ г
		/2 (t) =	е~аТВ cos <в0Т +		е~аТ			. sänö)07\		(2.87)

В выражении (2.87) известны все величины за исключением а и ю0.

Определим значения а и и 0.			Корни знаменателя дроби
			г (BjZ -j- Ci)	( 2. 88)
			г2 + Piz + qi	( 2. 88)
			г2 + Piz + qi
вычисляю тся следующим		образом:
Zi.8 =	— - f - ±	У	( - у - ) 2 — Qi = e - aT cos (i)0T ±
±	Y e~ 2aTcos2 (o0T — e~-aT = e~aTcos ю0T ±

± je~aTsin co0T = e~aT(cos aQT ± j sin a>0T) = е - аГ±/ш»r . (2.89)

С другой стороны, известны численные значения комплексно

сопряженных корней знаменателя дроби (2.88):
г1л = а ± /ß.	(2.90)
Следовательно,
â ± /ß = er aT±i<*<>T.	(2.91)

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125886

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27