МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ¾ЛЭТИ¿ ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра АПУ
ОТЧЕТ
по лабораторной работе 2 по дисциплине ¾Теория автоматического управления¿
Тема: Метод фазового пространства
Студент гр. 8391 |
|
Орещенко Н.В. |
Преподаватель |
|
Синица А.М. |
|
Санкт-Петебург 2021
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1 |
Цель работы |
3 |
|
2 |
Основные теоретические положения |
3 |
|
3 |
Обработка результатов эксперимента |
4 |
|
|
3.1 Изучение фазовых портретов типовых особых точек . . . . . |
4 |
|
|
3.1.1 |
Устойчивый узел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
3.1.2 Неустойчивый узел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
|
3.1.3 |
Седло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
|
3.1.4 |
Устойчивый фокус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
3.1.5Неустойчивый фокус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
|
|
3.1.6 |
Центр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
|
3.2 |
Построение фазовых портретов для нелинейных систем . . . |
12 |
|
|
3.3 |
Построение фазового портрета для маятника . . . . . . . . . |
14 |
|
|
|
3.3.1 |
Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
|
|
3.3.2 |
Математический маятник с учетом вязкого трения . . |
15 |
|
3.4 |
Построение фазового портрета осциллятора Ван дер Поля . |
16 |
|
|
3.5 |
Построение фазового портрета аттрактора Лоренца (3 поря- |
|
|
|
|
äîê) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
|
4 |
Выводы |
|
19 |
|
5 |
Код програмы |
20 |
||
Список использованных источников |
26 |
|||
2
Анализ поведения систем на фазовой плоскости.
Метод фазового пространства. Метод фазовой плоскости дает возможность изобразить качественную картину всей совокупности свободных движений (процессов) для выбранной области начальных условий (состояний), а при необходимости провести точные исследования интересующих типов движений. Через каждую точку фазового пространства при условии однозначности функции проходит только одна фазовая траектория. Единственность нарушается в особых точках, соответствующих точкам равновесия. Существует несколько основных типов особых точек (типов поведения
âокрестности положения равновесия):
устойчивый узел
неустойчивый узел
седло
устойчивый фокус
неустойчивый фокус
центр
Заметим также, что особые точки являются частным случаем аттракторов компактных подмножеств фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Кроме особых точек (то- чек равновесия) аттрактором могут быть замкнутые траектории (предельные циклы) или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).
3
3.1Изучение фазовых портретов типовых особых то- чек
Анализируя данные нам системы, можно заметить, что в правых ча- стях дифференциальных уравнений отсутствуют свободные члены. В таком случае положение равновесия находится в точке (0, 0). При данном условии все степенные функции в районе положения равновесия (нуля) имеют скорость роста меньше, чем линейный член. Это приводит к появлению возможности линеаризации системы путем исключения всех степенных функций. В окрестности положения равновесия такая линеаризация корректна.
Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях равновесия. Построим фазовый портрет линеаризованной системы.
8
>x0 = a11x + a12y
<
:
>y0 = a x + a y
21 22
В матричной форме система уравнений записывается как
X0 = AX; X0 = |
y |
; A = |
a21 |
a22 |
: |
|
x |
|
a11 |
a12 |
|
Положения равновесия находятся из решения стационарного уравнения:
AX = 0
Это уравнение имеет единственное решение X = 0, если матрица A является невырожденной, т.е. при условии det( A) != 0. В случае вырожденной матрицы система имеет бесконечное множество точек равновесия.
Классификация положений равновесия определяется собственными значениями 1 è 2 матрицы A. Числа 1 è 2 находятся из решения ха- рактеристического уравнения. В результате имеем следующие типы точек:
Óçåë: 1, 2 действительные числа одного знака.
Седло: 1, 2 действительные числа разного знака.
Фокус: 1, 2 комплексные числа, действительные части которых равны и отличны от нуля.
Центр: 1, 2 чисто мнимые числа (действительная часть комплексного числа равна нулю).
4
Устойчивость положений равновесия определяется общими теоремами об устойчивости. Так, если действительные собственные значения (или действительные части комплексных собственных значений) отрицательны, то точка равновесия является асимптотически устойчивой. Примерами таких положений равновесия являются устойчивый узел и устойчивый фокус.
Если действительная часть хотя бы одного собственного числа положительна, то соответствующее положение равновесия является неустойчи- вым. Например, это может быть седло.
Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях рав-
новесия. 8
>x0 = 4x 4y
<
>y0 = 1:5x + y
:
Выпишем коэффициенты системы уравнений в матричной форме:
4 4
A = 1:5 1 :
Найдем собственные значения матрицы А:
2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0
2 ( 4 + 1) + ( 4)(1) ( 4)(1:5) = 0
В результате имеем следующее:
1 = 2; 2 = 1
Исходя из полученных результатов аналитически можно сделать вывод о том, что данная система представляет собой устойчивый узел. Построим фазовый портреты линеаризованной системы.
На рисунке 1 представлен фазовый портрет устойчивого узла. Все траектории такой системы стремятся в начало координат (0,0), особую точ- ку. Как было подтверждено ранее, собственные значения матрицы системыдействительные отрицательные. Следовательно, такая система устойчи- ва.
5