Материал: Орещенко Николай 8391 отчет 2

3.4Построение фазового портрета осциллятора Ван дер Поля

Уравнение Ван дер Поля представлено ниже:

(

dxdt = y

dydt = (1 x2)y x

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при = 0 и при > 0. Очевидно, что третьего режима < 0 не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным. При > 0 система имеет некие предельные циклы. Чем дальше от нуля, тем колебания

осциллятора более похожи на гармонические.

На рисунках 11-13 представлены фазовые портреты данной системы при разных значения .

Рисунок 11 Фазовый портрет осциллятор Ван дер Поля при =13

Рисунок 12 Фазовый портрет осциллятор Ван дер Поля при =6.5

16

Рисунок 13 Фазовый портрет осциллятор Ван дер Поля при =26

В центре на рисунках видна изолированная замкнутая фазовая траектория - предельный цикл. В данном случае предельный цикл устойчив, что означает, что ему отвечают автоколебания в системе. Данные колебания не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой системы. При изменении коэффициента, характеризующего силу затухания колебаний, автоколебания в системе не исчезают.

3.5Построение фазового портрета аттрактора Лоренца (3 порядок)

Построим фазовый портрет аттрактора Лоренца, согласно системе дифференциальных уравнений:

8

>x = (y x)

<

y = x(r z) y

>

:z = xy bz

при следующих значениях параметров: = 10, r = 28, b = 8=3, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 0. На рис. 14-17 продемонстрированы попытки описать

поведение аттрактора Лоренца. При r = 28 фазовые траектории делают по несколько оборот то вокруг одной неустойчивой стационарной точки, то вокруг другой неустойчивой стационарной точки, меняя их. Также можно заметить, что некоторые фазовые траектории, которые проходят рядом со стационарными точками, являются неустойчивыми предельными циклами. Остальные траектории направленно приближаются к этим неустойчивым предельным циклам.

При r < 1 система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку начало координат.

При r > 1, начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки. У линеаризованной в

17

нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение.

Рисунок 14 Фазовый портрет аттрактора Лоренца при r=28

Рисунок 15 Фазовый портрет аттрактора Лоренца при r=0.5

18

Рисунок 16 Фазовый портрет аттрактора Лоренца при r=10

4ВЫВОДЫ

Âходе выполнения данной лабораторной работы был провед¼н анализ поведения разных систем на фазовой плоскости: подробно изучены фазовые портреты типовых особых точек таких, как неустойчивый узел, устойчивый узел, седло, устойчивый фокус, неустойчивый фокус и центр. Был построен фазовый портрет математического маятника и математиче- ского маятника с уч¼том вязкого трения, фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля и аттрактора Лоренца.

Важно осознавать суть понятий, которыми оперируют в данной лабораторной работе. Фазовый портрет совокупность фазовых траекторий. Позволяет выносить общие суждения о динамических свойствах автономной системы. Через каждую точку фазового пространства при условии однозначности функции проходит только одна фазовая траектория. Единственность нарушается в особых точках, соответствующих точкам равновесия. Обратим внимание на важное свойство фазовой траектории отрезок фазовой траектории изображает бесчисленное множество движений системы (при начальных состояниях, принадлежащих траектории). Замечание: фазовые траектории не пересекаются!

19

5КОД ПРОГРАМЫ

import numpy as np

from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt

var = 13;

#Функция, отвечающая за расчет ОДУ:

#Y - вектор переменных состояния,

#t - время,

#var - вариант

def ode(Y, t, b, c):

#1

#x, y = Y

#1.1

#dydt = [-4*x-4*y, 1.5*x + y]

#dydt = [-4 * x + 0.1 * var * x**2 - 4 * y, 1.5 * x + y - 0.2 * var * y**3] #1 (не линеариз)

#1.2

#dydt = [1 * x + 0.5 * y, 0.5 * x + y]

#dydt = [x + 0.5 * y - 0.1 * var * y**2,

0.5 * x - 0.2 * var * x**2 + y] #2 (не линеариз)

#1.3

#dydt = [2 * x + y, x - 3 * y]

#dydt = [2 * x + 0.2 * var * x**2 + y - 0.1 * var * y**2, x - 3 * y]

#1.4

#dydt = [2 * y, -3 * x - y]

#dydt = [-0.1 * var * x**2 + 2 * y, -3 * x - y]

#1.5

#dydt = [0.1 * x - 4 * y, 4 * x + 0.1 * y]

#dydt = [0.1 * x - 4 * y, 4 * x - 0.2 * var * x**2 + 0.1 * y]

#1.6

#dydt = [x - 4 * y, 2 * x - y]

#dydt = [x - 0.1 * var * x**2 - 4 * y + 0.3 * var * y**2, 2 * x + 0.2 * var * x**2 - y - 0.3 * var * y**3]

20