Материал: Орещенко Николай 8391 отчет 2
Рисунок 1 Фазовый портрет устойчивого узла
3.1.2Неустойчивый узел
Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях рав-
новесия. 8
>x0 = x + 0:5y
<
>y0 = 0:5x + y
:
Выпишем коэффициенты системы уравнений в матричной форме:
1 0:5 A = 0:5 1 :
Найдем собственные значения матрицы А:
2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0
2 (1 + 1) + (1)(1) (0:5)(0:5) = 0
В результате имеем следующее:
1 = 0:5; 2 = 1:5
Исходя из полученных результатов аналитически можно сделать вывод о том, что данная система представляет собой неустойчивый узел. Построим фазовый портреты линеаризованной системы.
6
На рисунке 2 представлен фазовый портрет неустойчивого узла. Все траектории такой системы отдаляются от начала координат (0,0). Как было подтверждено ранее, собственные значения матрицы системы действительные положительны. Следовательно, такая система неустойчива.
Рисунок 2 Фазовый портрет неустойчивого узла
3.1.3Седло
Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях рав-
новесия. 8
>x0 = 2x + y
<
>y0 = x 3y
:
Выпишем коэффициенты системы уравнений в матричной форме:
2 1
A = 1 3 :
Найдем собственные значения матрицы А:
2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0
2 (2 3) + (2)( 3) (1)(1) = 0
7
В результате имеем следующее:
1 = 3:19; 2 = 2:19
Исходя из полученных результатов аналитически можно сделать вывод о том, что данная система представляет собой седло. Построим фазовый портреты линеаризованной системы.
На рисунке 3 представлен фазовый портрет "седла". Данный график имеет сепаратрису кривая, которая начинается или заканчивается в точке седлового состояния равновесия. Седло имеет четыре сепаратрисы, которые начинаются в точке седла: две устойчивых (направленных к седловой точке) и две неустойчивых (исходящих из седловой точки). Они являются асимптотами для остальных фазовых траекторий, имеющих форму гипербол. Как было подтверждено ранее, собственные значения матрицы системы действительные числа разного знака. Следовательно, такая система неустойчива.
Рисунок 3 Фазовый портрет седла
8
3.1.4Устойчивый фокус
Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях рав-
новесия. 8
>x0 = 0 + 2y
<
>y0 = 3x y
:
Выпишем коэффициенты системы уравнений в матричной форме:
A = |
0 |
2 |
: |
3 |
1 |
Найдем собственные значения матрицы А:
2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0
2 (0 1) + (0)( 1) (2)( 3) = 0
В результате имеем следующее:
p p
1 = 0:5 + 0:5 23i; 2 = 0:5 0:5 23i
Исходя из полученных результатов аналитически можно сделать вывод о том, что данная система представляет собой устойчивый фокус. На рисунке 4 представлен фазовый портрет устойчивого фокуса.
Рисунок 4 Фазовый портрет устойчивого фокуса
9
В данном случае фазовые траектории представляют собой спирали. Направление закручивания спиралей можно определить по знаку коэффициента a21 в исходной матрице A. Положительный коэффициент a21 > 0
соответствует закручиванию спиралей против часовой стрелки, а при a21 <
0 спирали будут закручиваться по часовой стрелке. Как было подтверждено ранее, собственные значения матрицы системы комплексные числа, действительные части которых равны и отличны от нуля. Следовательно, такая система неустойчива.
3.1.5Неустойчивый фокус
Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях рав-
новесия. 8
>x0 = 0:1x 4y
<
>y0 = 4x + 0:1y
:
Выпишем коэффициенты системы уравнений в матричной форме:
A = |
0:1 |
4 |
: |
|
4 |
0:1 |
|
Найдем собственные значения матрицы А:
2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0
2 (0:1 + 0:1) + (0:1)(0:1) ( 4)(4) = 0
В результате имеем следующее:
1 = 0:1 + 4i; 2 = 0:1 4i
Исходя из полученных результатов аналитически можно сделать вывод о том, что данная система представляет собой неустойчивый фокус. Построим фазовый портреты линеаризованной системы.
На рисунке 5 представлен фазовый портрет неустойчивого фокуса. В данном случае фазовые траектории представляют собой спирали. Направление закручивания спиралей можно определить по знаку коэффициента a21 в исходной матрице A. Положительный коэффициент a21 > 0 ñîîò-
ветствует закручиванию спиралей против часовой стрелки, а при a21 < 0
спирали будут закручиваться по часовой стрелке. Как было подтверждено ранее, собственные значения матрицы системы комплексные числа, действительные части которых равны и отличны от нуля. Следовательно, такая система неустойчива.
10