Материал: Орещенко Николай 8391 отчет 2

Рисунок 5 Фазовый портрет неустойчивого фокуса

3.1.6Центр

Аналитическим путем исследуем тип особой точки в положениях рав-

новесия. 8

>x0 = x 4y

<

>y0 = 2x y

:

Выпишем коэффициенты системы уравнений в матричной форме:

1 4 A = 2 1 :

Найдем собственные значения матрицы А:

2 (a11 + a22) + a11a22 a12a21 = 0

2 (1 1) + (1)( 1) ( 4)(2) = 0

В результате имеем следующее:

pp

1 = 7i; 2 = 7i

Исходя из полученных результатов аналитически можно сделать вывод о том, что данная система представляет собой центр. Построим фазовый портреты линеаризованной системы.

11

На рисунке 6 представлен фазовый портрет центра. Для матрицы с действительными элементами мнимые собственные значения будут комплексносопряженными. Фазовые траектории в данном случае образованы вложенными друг в друга эллипсами. Об устойчивости положения равновесия можно сказать, что система находится на колебательной границе устой- чивости.

Рисунок 6 Фазовый портрет центра

3.2Построение фазовых портретов для нелинейных систем

По модели в виде блок-схемы (рис. 7) построим систему дифференциальных уравнений. В результате данной системы, имеем следующую си-

Рисунок 7 Модель нелинейной системы в виде блок-схемы

12

стему уравнений:

8

>x0 = y

<

>y0 = np:sign(deadzone(x)) y

:

По полученной системе простроим фазовый портрет (рис. 8) и проанализируем полученные данные.

Рисунок 8 Фазовый портрет нелинейной системы (реле + зона нечувствительности)

В случае нелинейной системы реле с зоной нечувствительности можно сразу найти положения равновесия: y = 0 как вход интегратора в равновесном состоянии; |x| b, |y| b, где b - амплитуда мертвой зоны.

Т.е. на промежутке, изображенном на рис. 8., имеет место быть отрезок равновесия. Линии x = 2.8 (так называемым линиям переключения ре-

ле) соответствуют границы трех листов фазовой плоскости. Движения системы завершаются на отрезке равновесия.

13

3.3Построение фазового портрета для маятника

3.3.1Математический маятник

Построим фазовый портрет математического маятника, описываемо-

го следующими д.у.:

(

ddt = !

d!dt = mgl sin( )

Согласно варианту 13 имеем следующее:

(

ddt = !

d!dt = 2:6 9:81 0:38 sin( )

На рисунке 9 изображен фазовый портрет математического маятника. Здесь мы видим два типа особых точек. Вблизи точки (2 k,0) k = 0, 1, 2,...; В

данном случае маятник направлен вертикально вниз и неподвижен. Небольшое отклонение маятника от такого положения привед¼т к тому, что он начн¼т колебаться на фазовом портрете это соответствует замкнутой траектории, напоминающей особую точку "центр". Чем меньше исходное отклонение, тем меньше амплитуда колебаний. Вс¼ это говорит о колебательной границе устойчивости. Точки ( (k - 1),0) k = 1, 2,...; на фазовом

портрете маятника похожи на "с¼дла". Они соответствуют положениям равновесия, при которых маятник направлен вертикально вверх и неподвижен. Понятно, что такое положение равновесия трудно назвать устой- чивым: малейшее отклонение маятника от вертикали скорее всего привед¼т к тому, что он прид¼т в движение и через какое-то время уйд¼т далеко от вертикального положения равновесия.

Рисунок 9 Фазовый портрет математического маятника

Слияние искривленных усов седел образует сепаратрисы, которые оказываются границами областей между колебательными движениями и

14

незамкнутыми траекториями вне этих областей, изображающими неравномерные вращательные движения маятника вокруг точки подвеса. Замеча- ние: движение математического маятника по такой сепаратрисе бесконеч- но.

3.3.2Математический маятник с учетом вязкого трения

Построим фазовый портрет маятника, описываемого следующими д.у.:

(

ddt = !

d!dt = b ! mgl sin( )

Согласно варианту 13 имеем следующее:

(

ddt = !

d!dt = 0:295! 2:6 9:81 0:38 sin( )

На рисунке 10 изображен фазовый портрет математического маятника (для наглядности при разной длительности решения). Вышеприведенные рассуждения отчасти справедливы и для этого случая, но за исключением важнейшей детали в данном случае отражается колебательный процесс с затуханием (речь идет об устойчивом фокусе). Это подтверждается отсутствием замкнутых фазовых траекторий.

Рисунок 10 Фазовый портрет маятника с учетом вязкого трения

15